Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40952 / 8537
↖ ↑ ↗
← N 78.809445°
E 44.956055°		 ← 118.55 m → N 78.809445°
E 44.961548°		 →
↑
118.56 m
↓
↑
118.56 m
↓
N 78.808379°
E 44.956055°		 ← 118.56 m →
14 056 m²		 N 78.808379°
E 44.961548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624885559082031 y=0.130271911621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624885559082031 × 216)
    floor (0.624885559082031 × 65536)
    floor (40952.5)     		tx = 40952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130271911621094 × 216)
    floor (0.130271911621094 × 65536)
    floor (8537.5)     		ty = 8537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40952 / 8537 ti = "16/40952/8537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40952/8537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40952 ÷ 216
    40952 ÷ 65536     		x = 0.6248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8537 ÷ 216
    8537 ÷ 65536     		y = 0.130264282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6248779296875 × 2 - 1) × π
    0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130264282226562 × 2 - 1) × π
    0.739471435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32311802938716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78463117} λ = 0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32311802938716))-π/2
    2×atan(10.2074518735431)-π/2
    2×1.47314031133546-π/2
    2.94628062267092-1.57079632675     		φ = 1.37548430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37548430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.809445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40952 KachelY 8537 0.78463117 1.37548430 44.956055 78.809445
    Oben rechts KachelX + 1 40953 KachelY 8537 0.78472705 1.37548430 44.961548 78.809445
    Unten links KachelX 40952 KachelY + 1 8538 0.78463117 1.37546569 44.956055 78.808379
    Unten rechts KachelX + 1 40953 KachelY + 1 8538 0.78472705 1.37546569 44.961548 78.808379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37548430-1.37546569) × R
    1.8610000000141e-05 × 6371000     		dl = 118.564310000898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37548430-1.37546569) × R
    1.8610000000141e-05 × 6371000     		dr = 118.564310000898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78463117-0.78472705) × cos(1.37548430) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.1940726386848 × 6371000     		do = 118.549558568038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78463117-0.78472705) × cos(1.37546569) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.194090894822267 × 6371000     		du = 118.560710356628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37548430)-sin(1.37546569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1940726386848-0.194090894822267)×R²
    abs(0.78472705-0.78463117)×1.82561374667267e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.82561374667267e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.82561374667267e-05×40589641000000     		ar = 14056.407714973m²