Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40951 / 8515
↖ ↑ ↗
← N 78.832875°
E 44.950562°		 ← 118.29 m → N 78.832875°
E 44.956055°		 →
↑
118.31 m
↓
↑
118.31 m
↓
N 78.831811°
E 44.950562°		 ← 118.30 m →
13 996 m²		 N 78.831811°
E 44.956055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624870300292969 y=0.129936218261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624870300292969 × 216)
    floor (0.624870300292969 × 65536)
    floor (40951.5)     		tx = 40951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129936218261719 × 216)
    floor (0.129936218261719 × 65536)
    floor (8515.5)     		ty = 8515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40951 / 8515 ti = "16/40951/8515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40951/8515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40951 ÷ 216
    40951 ÷ 65536     		x = 0.624862670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8515 ÷ 216
    8515 ÷ 65536     		y = 0.129928588867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624862670898438 × 2 - 1) × π
    0.249725341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78453530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129928588867188 × 2 - 1) × π
    0.740142822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32522725297044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78453530} λ = 0.78453530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32522725297044))-π/2
    2×atan(10.2290043933112)-π/2
    2×1.47334477102832-π/2
    2.94668954205663-1.57079632675     		φ = 1.37589322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78453530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.950562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37589322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.832875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40951 KachelY 8515 0.78453530 1.37589322 44.950562 78.832875
    Oben rechts KachelX + 1 40952 KachelY 8515 0.78463117 1.37589322 44.956055 78.832875
    Unten links KachelX 40951 KachelY + 1 8516 0.78453530 1.37587465 44.950562 78.831811
    Unten rechts KachelX + 1 40952 KachelY + 1 8516 0.78463117 1.37587465 44.956055 78.831811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37589322-1.37587465) × R
    1.856999999994e-05 × 6371000     		dl = 118.309469999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37589322-1.37587465) × R
    1.856999999994e-05 × 6371000     		dr = 118.309469999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78453530-0.78463117) × cos(1.37589322) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19367147719994 × 6371000     		do = 118.292169671555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78453530-0.78463117) × cos(1.37587465) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193689695570329 × 6371000     		du = 118.303297229378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37589322)-sin(1.37587465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19367147719994-0.193689695570329)×R²
    abs(0.78463117-0.78453530)×1.82183703890393e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.82183703890393e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.82183703890393e-05×40589641000000     		ar = 13995.7421470565m²