Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4095 / 4769
↖ ↑ ↗
← S 28.343065°
W  0.043945°		 ← 4 300.70 m → S 28.343065°
E  0.000000°		 →
↑
4 299.92 m
↓
↑
4 299.92 m
↓
S 28.381735°
W  0.043945°		 ← 4 299.14 m →
18 489 296 m²		 S 28.381735°
E  0.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49993896484375 y=0.58221435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49993896484375 × 213)
    floor (0.49993896484375 × 8192)
    floor (4095.5)     		tx = 4095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58221435546875 × 213)
    floor (0.58221435546875 × 8192)
    floor (4769.5)     		ty = 4769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4095 / 4769 ti = "13/4095/4769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4095/4769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4095 ÷ 213
    4095 ÷ 8192     		x = 0.4998779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4769 ÷ 213
    4769 ÷ 8192     		y = 0.5821533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4998779296875 × 2 - 1) × π
    -0.000244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00076699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5821533203125 × 2 - 1) × π
    -0.164306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.516184535108765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00076699} λ = -0.00076699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516184535108765))-π/2
    2×atan(0.596793253204481)-π/2
    2×0.538058262056112-π/2
    1.07611652411222-1.57079632675     		φ = -0.49467980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00076699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49467980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.343065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4095 KachelY 4769 -0.00076699 -0.49467980 -0.043945 -28.343065
    Oben rechts KachelX + 1 4096 KachelY 4769 0.00000000 -0.49467980 0.000000 -28.343065
    Unten links KachelX 4095 KachelY + 1 4770 -0.00076699 -0.49535472 -0.043945 -28.381735
    Unten rechts KachelX + 1 4096 KachelY + 1 4770 0.00000000 -0.49535472 0.000000 -28.381735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49467980--0.49535472) × R
    0.000674920000000023 × 6371000     		dl = 4299.91532000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49467980--0.49535472) × R
    0.000674920000000023 × 6371000     		dr = 4299.91532000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00076699-0.00000000) × cos(-0.49467980) × R
    0.00076699 × 0.880120769857609 × 6371000     		do = 4300.70423629884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00076699-0.00000000) × cos(-0.49535472) × R
    0.00076699 × 0.879800151250806 × 6371000     		du = 4299.13753562805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49467980)-sin(-0.49535472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880120769857609-0.879800151250806)×R²
    abs(0.00000000--0.00076699)×0.000320618606803214×R²
    0.00076699×0.000320618606803214×6371000²
    0.00076699×0.000320618606803214×40589641000000     		ar = 18489296.3941921m²