Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40947 / 8154
↖ ↑ ↗
← N 79.210481°
E 44.928589°		 ← 114.35 m → N 79.210481°
E 44.934082°		 →
↑
114.36 m
↓
↑
114.36 m
↓
N 79.209453°
E 44.928589°		 ← 114.36 m →
13 078 m²		 N 79.209453°
E 44.934082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624809265136719 y=0.124427795410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624809265136719 × 216)
    floor (0.624809265136719 × 65536)
    floor (40947.5)     		tx = 40947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124427795410156 × 216)
    floor (0.124427795410156 × 65536)
    floor (8154.5)     		ty = 8154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40947 / 8154 ti = "16/40947/8154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40947/8154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40947 ÷ 216
    40947 ÷ 65536     		x = 0.624801635742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8154 ÷ 216
    8154 ÷ 65536     		y = 0.124420166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624801635742188 × 2 - 1) × π
    0.249603271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78415180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124420166015625 × 2 - 1) × π
    0.75115966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35983769449612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78415180} λ = 0.78415180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35983769449612))-π/2
    2×atan(10.5892326222133)-π/2
    2×1.47664001251276-π/2
    2.95328002502551-1.57079632675     		φ = 1.38248370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78415180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.928589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38248370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.210481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40947 KachelY 8154 0.78415180 1.38248370 44.928589 79.210481
    Oben rechts KachelX + 1 40948 KachelY 8154 0.78424768 1.38248370 44.934082 79.210481
    Unten links KachelX 40947 KachelY + 1 8155 0.78415180 1.38246575 44.928589 79.209453
    Unten rechts KachelX + 1 40948 KachelY + 1 8155 0.78424768 1.38246575 44.934082 79.209453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38248370-1.38246575) × R
    1.79500000001553e-05 × 6371000     		dl = 114.35945000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38248370-1.38246575) × R
    1.79500000001553e-05 × 6371000     		dr = 114.35945000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78415180-0.78424768) × cos(1.38248370) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.187201619267044 × 6371000     		do = 114.352386187728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78415180-0.78424768) × cos(1.38246575) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.187219251908033 × 6371000     		du = 114.363157112572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38248370)-sin(1.38246575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187201619267044-0.187219251908033)×R²
    abs(0.78424768-0.78415180)×1.76326409885574e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.76326409885574e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.76326409885574e-05×40589641000000     		ar = 13077.8918697963m²