Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40945 / 8555
↖ ↑ ↗
← N 78.790240°
E 44.917603°		 ← 118.74 m → N 78.790240°
E 44.923096°		 →
↑
118.76 m
↓
↑
118.76 m
↓
N 78.789172°
E 44.917603°		 ← 118.75 m →
14 101 m²		 N 78.789172°
E 44.923096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624778747558594 y=0.130546569824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624778747558594 × 216)
    floor (0.624778747558594 × 65536)
    floor (40945.5)     		tx = 40945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130546569824219 × 216)
    floor (0.130546569824219 × 65536)
    floor (8555.5)     		ty = 8555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40945 / 8555 ti = "16/40945/8555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40945/8555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40945 ÷ 216
    40945 ÷ 65536     		x = 0.624771118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8555 ÷ 216
    8555 ÷ 65536     		y = 0.130538940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624771118164062 × 2 - 1) × π
    0.249542236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78396006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130538940429688 × 2 - 1) × π
    0.738922119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32139230100084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78396006} λ = 0.78396006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32139230100084))-π/2
    2×atan(10.1898517749557)-π/2
    2×1.47297271117773-π/2
    2.94594542235545-1.57079632675     		φ = 1.37514910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78396006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.917603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37514910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.790240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40945 KachelY 8555 0.78396006 1.37514910 44.917603 78.790240
    Oben rechts KachelX + 1 40946 KachelY 8555 0.78405593 1.37514910 44.923096 78.790240
    Unten links KachelX 40945 KachelY + 1 8556 0.78396006 1.37513046 44.917603 78.789172
    Unten rechts KachelX + 1 40946 KachelY + 1 8556 0.78405593 1.37513046 44.923096 78.789172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37514910-1.37513046) × R
    1.86399999999587e-05 × 6371000     		dl = 118.755439999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37514910-1.37513046) × R
    1.86399999999587e-05 × 6371000     		dr = 118.755439999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78396006-0.78405593) × cos(1.37514910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19440145467225 × 6371000     		do = 118.738030984017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78396006-0.78405593) × cos(1.37513046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.194419739025548 × 6371000     		du = 118.749198843394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37514910)-sin(1.37513046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19440145467225-0.194419739025548)×R²
    abs(0.78405593-0.78396006)×1.82843532978705e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.82843532978705e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.82843532978705e-05×40589641000000     		ar = 14101.4502366679m²