Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40941 / 9849
↖ ↑ ↗
← N 77.320963°
E 44.895630°		 ← 134.06 m → N 77.320963°
E 44.901123°		 →
↑
134.11 m
↓
↑
134.11 m
↓
N 77.319757°
E 44.895630°		 ← 134.07 m →
17 980 m²		 N 77.319757°
E 44.901123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624717712402344 y=0.150291442871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624717712402344 × 216)
    floor (0.624717712402344 × 65536)
    floor (40941.5)     		tx = 40941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150291442871094 × 216)
    floor (0.150291442871094 × 65536)
    floor (9849.5)     		ty = 9849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40941 / 9849 ti = "16/40941/9849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40941/9849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40941 ÷ 216
    40941 ÷ 65536     		x = 0.624710083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9849 ÷ 216
    9849 ÷ 65536     		y = 0.150283813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624710083007812 × 2 - 1) × π
    0.249420166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78357656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150283813476562 × 2 - 1) × π
    0.699432373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19733160478413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78357656} λ = 0.78357656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19733160478413))-π/2
    2×atan(9.00096329858001)-π/2
    2×1.46015085192275-π/2
    2.92030170384549-1.57079632675     		φ = 1.34950538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78357656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.895630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34950538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.320963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40941 KachelY 9849 0.78357656 1.34950538 44.895630 77.320963
    Oben rechts KachelX + 1 40942 KachelY 9849 0.78367243 1.34950538 44.901123 77.320963
    Unten links KachelX 40941 KachelY + 1 9850 0.78357656 1.34948433 44.895630 77.319757
    Unten rechts KachelX + 1 40942 KachelY + 1 9850 0.78367243 1.34948433 44.901123 77.319757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34950538-1.34948433) × R
    2.1050000000189e-05 × 6371000     		dl = 134.109550001204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34950538-1.34948433) × R
    2.1050000000189e-05 × 6371000     		dr = 134.109550001204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78357656-0.78367243) × cos(1.34950538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219489272570734 × 6371000     		do = 134.061363332398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78357656-0.78367243) × cos(1.34948433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219509809216032 × 6371000     		du = 134.073906864183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34950538)-sin(1.34948433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219489272570734-0.219509809216032)×R²
    abs(0.78367243-0.78357656)×2.05366452973865e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.05366452973865e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.05366452973865e-05×40589641000000     		ar = 17979.7502133624m²