Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40941 / 8179
↖ ↑ ↗
← N 79.184743°
E 44.895630°		 ← 114.61 m → N 79.184743°
E 44.901123°		 →
↑
114.61 m
↓
↑
114.61 m
↓
N 79.183712°
E 44.895630°		 ← 114.62 m →
13 137 m²		 N 79.183712°
E 44.901123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624717712402344 y=0.124809265136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624717712402344 × 216)
    floor (0.624717712402344 × 65536)
    floor (40941.5)     		tx = 40941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124809265136719 × 216)
    floor (0.124809265136719 × 65536)
    floor (8179.5)     		ty = 8179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40941 / 8179 ti = "16/40941/8179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40941/8179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40941 ÷ 216
    40941 ÷ 65536     		x = 0.624710083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8179 ÷ 216
    8179 ÷ 65536     		y = 0.124801635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624710083007812 × 2 - 1) × π
    0.249420166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78357656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124801635742188 × 2 - 1) × π
    0.750396728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35744084951512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78357656} λ = 0.78357656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35744084951512))-π/2
    2×atan(10.5638822657237)-π/2
    2×1.47641540157106-π/2
    2.95283080314212-1.57079632675     		φ = 1.38203448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78357656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.895630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38203448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.184743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40941 KachelY 8179 0.78357656 1.38203448 44.895630 79.184743
    Oben rechts KachelX + 1 40942 KachelY 8179 0.78367243 1.38203448 44.901123 79.184743
    Unten links KachelX 40941 KachelY + 1 8180 0.78357656 1.38201649 44.895630 79.183712
    Unten rechts KachelX + 1 40942 KachelY + 1 8180 0.78367243 1.38201649 44.901123 79.183712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38203448-1.38201649) × R
    1.79899999999122e-05 × 6371000     		dl = 114.614289999441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38203448-1.38201649) × R
    1.79899999999122e-05 × 6371000     		dr = 114.614289999441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78357656-0.78367243) × cos(1.38203448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187642878833495 × 6371000     		do = 114.609975519088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78357656-0.78367243) × cos(1.38201649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187660549252491 × 6371000     		du = 114.620768394901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38203448)-sin(1.38201649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187642878833495-0.187660549252491)×R²
    abs(0.78367243-0.78357656)×1.76704189959465e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76704189959465e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76704189959465e-05×40589641000000     		ar = 13136.5594803552m²