Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40940 / 9850
↖ ↑ ↗
← N 77.319757°
E 44.890137°		 ← 134.07 m → N 77.319757°
E 44.895630°		 →
↑
134.05 m
↓
↑
134.05 m
↓
N 77.318551°
E 44.890137°		 ← 134.09 m →
17 973 m²		 N 77.318551°
E 44.895630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624702453613281 y=0.150306701660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624702453613281 × 216)
    floor (0.624702453613281 × 65536)
    floor (40940.5)     		tx = 40940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150306701660156 × 216)
    floor (0.150306701660156 × 65536)
    floor (9850.5)     		ty = 9850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40940 / 9850 ti = "16/40940/9850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40940/9850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40940 ÷ 216
    40940 ÷ 65536     		x = 0.62469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9850 ÷ 216
    9850 ÷ 65536     		y = 0.150299072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62469482421875 × 2 - 1) × π
    0.2493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78348069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150299072265625 × 2 - 1) × π
    0.69940185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19723573098489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78348069} λ = 0.78348069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19723573098489))-π/2
    2×atan(9.00010038339789)-π/2
    2×1.46014032979529-π/2
    2.92028065959059-1.57079632675     		φ = 1.34948433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78348069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.890137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34948433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.319757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40940 KachelY 9850 0.78348069 1.34948433 44.890137 77.319757
    Oben rechts KachelX + 1 40941 KachelY 9850 0.78357656 1.34948433 44.895630 77.319757
    Unten links KachelX 40940 KachelY + 1 9851 0.78348069 1.34946329 44.890137 77.318551
    Unten rechts KachelX + 1 40941 KachelY + 1 9851 0.78357656 1.34946329 44.895630 77.318551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34948433-1.34946329) × R
    2.10399999998057e-05 × 6371000     		dl = 134.045839998762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34948433-1.34946329) × R
    2.10399999998057e-05 × 6371000     		dr = 134.045839998762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78348069-0.78357656) × cos(1.34948433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219509809216032 × 6371000     		do = 134.073906864183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78348069-0.78357656) × cos(1.34946329) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219530336008007 × 6371000     		du = 134.086444377678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34948433)-sin(1.34946329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219509809216032-0.219530336008007)×R²
    abs(0.78357656-0.78348069)×2.0526791974923e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.0526791974923e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.0526791974923e-05×40589641000000     		ar = 17972.8897686961m²