Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40940 / 8548
↖ ↑ ↗
← N 78.797712°
E 44.890137°		 ← 118.66 m → N 78.797712°
E 44.895630°		 →
↑
118.69 m
↓
↑
118.69 m
↓
N 78.796645°
E 44.890137°		 ← 118.67 m →
14 085 m²		 N 78.796645°
E 44.895630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624702453613281 y=0.130439758300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624702453613281 × 216)
    floor (0.624702453613281 × 65536)
    floor (40940.5)     		tx = 40940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130439758300781 × 216)
    floor (0.130439758300781 × 65536)
    floor (8548.5)     		ty = 8548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40940 / 8548 ti = "16/40940/8548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40940/8548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40940 ÷ 216
    40940 ÷ 65536     		x = 0.62469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8548 ÷ 216
    8548 ÷ 65536     		y = 0.13043212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62469482421875 × 2 - 1) × π
    0.2493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78348069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13043212890625 × 2 - 1) × π
    0.7391357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32206341759552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78348069} λ = 0.78348069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32206341759552))-π/2
    2×atan(10.1966926488344)-π/2
    2×1.47303792273297-π/2
    2.94607584546594-1.57079632675     		φ = 1.37527952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78348069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.890137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37527952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.797712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40940 KachelY 8548 0.78348069 1.37527952 44.890137 78.797712
    Oben rechts KachelX + 1 40941 KachelY 8548 0.78357656 1.37527952 44.895630 78.797712
    Unten links KachelX 40940 KachelY + 1 8549 0.78348069 1.37526089 44.890137 78.796645
    Unten rechts KachelX + 1 40941 KachelY + 1 8549 0.78357656 1.37526089 44.895630 78.796645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37527952-1.37526089) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dl = 118.691730000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37527952-1.37526089) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dr = 118.691730000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78348069-0.78357656) × cos(1.37527952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.194273521165113 × 6371000     		do = 118.659890762485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78348069-0.78357656) × cos(1.37526089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.194291796181435 × 6371000     		du = 118.671052918951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37527952)-sin(1.37526089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194273521165113-0.194291796181435)×R²
    abs(0.78357656-0.78348069)×1.82750163224277e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.82750163224277e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.82750163224277e-05×40589641000000     		ar = 14084.6101444743m²