Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40939 / 8550
↖ ↑ ↗
← N 78.795577°
E 44.884643°		 ← 118.69 m → N 78.795577°
E 44.890137°		 →
↑
118.69 m
↓
↑
118.69 m
↓
N 78.794510°
E 44.884643°		 ← 118.71 m →
14 089 m²		 N 78.794510°
E 44.890137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624687194824219 y=0.130470275878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624687194824219 × 216)
    floor (0.624687194824219 × 65536)
    floor (40939.5)     		tx = 40939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130470275878906 × 216)
    floor (0.130470275878906 × 65536)
    floor (8550.5)     		ty = 8550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40939 / 8550 ti = "16/40939/8550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40939/8550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40939 ÷ 216
    40939 ÷ 65536     		x = 0.624679565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8550 ÷ 216
    8550 ÷ 65536     		y = 0.130462646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624679565429688 × 2 - 1) × π
    0.249359130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78338481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130462646484375 × 2 - 1) × π
    0.73907470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32187166999704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78338481} λ = 0.78338481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32187166999704))-π/2
    2×atan(10.1947376449462)-π/2
    2×1.47301929524047-π/2
    2.94603859048095-1.57079632675     		φ = 1.37524226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78338481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.884643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37524226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.795577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40939 KachelY 8550 0.78338481 1.37524226 44.884643 78.795577
    Oben rechts KachelX + 1 40940 KachelY 8550 0.78348069 1.37524226 44.890137 78.795577
    Unten links KachelX 40939 KachelY + 1 8551 0.78338481 1.37522363 44.884643 78.794510
    Unten rechts KachelX + 1 40940 KachelY + 1 8551 0.78348069 1.37522363 44.890137 78.794510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37524226-1.37522363) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dl = 118.691730000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37524226-1.37522363) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dr = 118.691730000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78338481-0.78348069) × cos(1.37524226) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.194310071130324 × 6371000     		do = 118.694594528786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78338481-0.78348069) × cos(1.37522363) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.194328346011771 × 6371000     		du = 118.705757767165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37524226)-sin(1.37522363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194310071130324-0.194328346011771)×R²
    abs(0.78348069-0.78338481)×1.82748814476774e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.82748814476774e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.82748814476774e-05×40589641000000     		ar = 14088.7292589532m²