Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40932 / 9860
↖ ↑ ↗
← N 77.307693°
E 44.846192°		 ← 134.20 m → N 77.307693°
E 44.851685°		 →
↑
134.17 m
↓
↑
134.17 m
↓
N 77.306486°
E 44.846192°		 ← 134.21 m →
18 007 m²		 N 77.306486°
E 44.851685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624580383300781 y=0.150459289550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624580383300781 × 216)
    floor (0.624580383300781 × 65536)
    floor (40932.5)     		tx = 40932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150459289550781 × 216)
    floor (0.150459289550781 × 65536)
    floor (9860.5)     		ty = 9860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40932 / 9860 ti = "16/40932/9860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40932/9860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40932 ÷ 216
    40932 ÷ 65536     		x = 0.62457275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9860 ÷ 216
    9860 ÷ 65536     		y = 0.15045166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62457275390625 × 2 - 1) × π
    0.2491455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78271370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15045166015625 × 2 - 1) × π
    0.6990966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19627699299249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78271370} λ = 0.78271370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19627699299249))-π/2
    2×atan(8.99147578025288)-π/2
    2×1.46003505437322-π/2
    2.92007010874645-1.57079632675     		φ = 1.34927378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78271370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.846192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34927378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.307693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40932 KachelY 9860 0.78271370 1.34927378 44.846192 77.307693
    Oben rechts KachelX + 1 40933 KachelY 9860 0.78280957 1.34927378 44.851685 77.307693
    Unten links KachelX 40932 KachelY + 1 9861 0.78271370 1.34925272 44.846192 77.306486
    Unten rechts KachelX + 1 40933 KachelY + 1 9861 0.78280957 1.34925272 44.851685 77.306486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34927378-1.34925272) × R
    2.10600000001282e-05 × 6371000     		dl = 134.173260000817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34927378-1.34925272) × R
    2.10600000001282e-05 × 6371000     		dr = 134.173260000817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78271370-0.78280957) × cos(1.34927378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219715219096111 × 6371000     		do = 134.199368706772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78271370-0.78280957) × cos(1.34925272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219735764426352 × 6371000     		du = 134.211917543214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34927378)-sin(1.34925272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219715219096111-0.219735764426352)×R²
    abs(0.78280957-0.78271370)×2.05453302410397e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.05453302410397e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.05453302410397e-05×40589641000000     		ar = 18006.8086490969m²