Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40931 / 8149
↖ ↑ ↗
← N 79.215622°
E 44.840698°		 ← 114.30 m → N 79.215622°
E 44.846192°		 →
↑
114.30 m
↓
↑
114.30 m
↓
N 79.214594°
E 44.840698°		 ← 114.31 m →
13 064 m²		 N 79.214594°
E 44.846192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624565124511719 y=0.124351501464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624565124511719 × 216)
    floor (0.624565124511719 × 65536)
    floor (40931.5)     		tx = 40931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124351501464844 × 216)
    floor (0.124351501464844 × 65536)
    floor (8149.5)     		ty = 8149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40931 / 8149 ti = "16/40931/8149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40931/8149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40931 ÷ 216
    40931 ÷ 65536     		x = 0.624557495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8149 ÷ 216
    8149 ÷ 65536     		y = 0.124343872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624557495117188 × 2 - 1) × π
    0.249114990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78261782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124343872070312 × 2 - 1) × π
    0.751312255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36031706349232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78261782} λ = 0.78261782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36031706349232))-π/2
    2×atan(10.5943099888948)-π/2
    2×1.47668487127657-π/2
    2.95336974255314-1.57079632675     		φ = 1.38257342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78261782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.840698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38257342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.215622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40931 KachelY 8149 0.78261782 1.38257342 44.840698 79.215622
    Oben rechts KachelX + 1 40932 KachelY 8149 0.78271370 1.38257342 44.846192 79.215622
    Unten links KachelX 40931 KachelY + 1 8150 0.78261782 1.38255548 44.840698 79.214594
    Unten rechts KachelX + 1 40932 KachelY + 1 8150 0.78271370 1.38255548 44.846192 79.214594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38257342-1.38255548) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dl = 114.295739999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38257342-1.38255548) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dr = 114.295739999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78261782-0.78271370) × cos(1.38257342) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187113484627613 × 6371000     		do = 114.298549012659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78261782-0.78271370) × cos(1.38255548) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187131107746678 × 6371000     		du = 114.309314121023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38257342)-sin(1.38255548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187113484627613-0.187131107746678)×R²
    abs(0.78271370-0.78261782)×1.76231190655018e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.76231190655018e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.76231190655018e-05×40589641000000     		ar = 13064.4524436373m²