Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4093 / 4097
↖ ↑ ↗
← N 79.169271°
W135.032959°		 ← 229.54 m → N 79.169271°
W135.021973°		 →
↑
229.61 m
↓
↑
229.61 m
↓
N 79.167206°
W135.032959°		 ← 229.59 m →
52 711 m²		 N 79.167206°
W135.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124923706054688 y=0.125045776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124923706054688 × 215)
    floor (0.124923706054688 × 32768)
    floor (4093.5)     		tx = 4093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125045776367188 × 215)
    floor (0.125045776367188 × 32768)
    floor (4097.5)     		ty = 4097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4093 / 4097 ti = "15/4093/4097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4093/4097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4093 ÷ 215
    4093 ÷ 32768     		x = 0.124908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4097 ÷ 215
    4097 ÷ 32768     		y = 0.125030517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.75018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.35676973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125030517578125 × 2 - 1) × π
    0.74993896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35600274252652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35676973} λ = -2.35676973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35600274252652))-π/2
    2×atan(10.5487011914315)-π/2
    2×1.47628038096235-π/2
    2.9525607619247-1.57079632675     		φ = 1.38176444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35676973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.032959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38176444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.169271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4093 KachelY 4097 -2.35676973 1.38176444 -135.032959 79.169271
    Oben rechts KachelX + 1 4094 KachelY 4097 -2.35657799 1.38176444 -135.021973 79.169271
    Unten links KachelX 4093 KachelY + 1 4098 -2.35676973 1.38172840 -135.032959 79.167206
    Unten rechts KachelX + 1 4094 KachelY + 1 4098 -2.35657799 1.38172840 -135.021973 79.167206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38176444-1.38172840) × R
    3.60399999999039e-05 × 6371000     		dl = 229.610839999388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38176444-1.38172840) × R
    3.60399999999039e-05 × 6371000     		dr = 229.610839999388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35676973--2.35657799) × cos(1.38176444) × R
    0.000191739999999996 × 0.187908115354172 × 6371000     		do = 229.54395748415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35676973--2.35657799) × cos(1.38172840) × R
    0.000191739999999996 × 0.187943513237615 × 6371000     		du = 229.587198672731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38176444)-sin(1.38172840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187908115354172-0.187943513237615)×R²
    abs(-2.35657799--2.35676973)×3.53978834423674e-05×R²
    0.000191739999999996×3.53978834423674e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.53978834423674e-05×40589641000000     		ar = 52710.7452235594m²