Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40924 / 8148
↖ ↑ ↗
← N 79.216649°
E 44.802246°		 ← 114.28 m → N 79.216649°
E 44.807739°		 →
↑
114.23 m
↓
↑
114.23 m
↓
N 79.215622°
E 44.802246°		 ← 114.29 m →
13 055 m²		 N 79.215622°
E 44.807739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624458312988281 y=0.124336242675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624458312988281 × 216)
    floor (0.624458312988281 × 65536)
    floor (40924.5)     		tx = 40924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124336242675781 × 216)
    floor (0.124336242675781 × 65536)
    floor (8148.5)     		ty = 8148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40924 / 8148 ti = "16/40924/8148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40924/8148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40924 ÷ 216
    40924 ÷ 65536     		x = 0.62445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8148 ÷ 216
    8148 ÷ 65536     		y = 0.12432861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62445068359375 × 2 - 1) × π
    0.2489013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78194671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12432861328125 × 2 - 1) × π
    0.7513427734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36041293729156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78194671} λ = 0.78194671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36041293729156))-π/2
    2×atan(10.5953257543357)-π/2
    2×1.47669384049473-π/2
    2.95338768098946-1.57079632675     		φ = 1.38259135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78194671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.802246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38259135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.216649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40924 KachelY 8148 0.78194671 1.38259135 44.802246 79.216649
    Oben rechts KachelX + 1 40925 KachelY 8148 0.78204258 1.38259135 44.807739 79.216649
    Unten links KachelX 40924 KachelY + 1 8149 0.78194671 1.38257342 44.802246 79.215622
    Unten rechts KachelX + 1 40925 KachelY + 1 8149 0.78204258 1.38257342 44.807739 79.215622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38259135-1.38257342) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dl = 114.232030000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38259135-1.38257342) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dr = 114.232030000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78194671-0.78204258) × cos(1.38259135) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187095871271742 × 6371000     		do = 114.275869990272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78194671-0.78204258) × cos(1.38257342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187113484627613 × 6371000     		du = 114.286628012626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38259135)-sin(1.38257342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187095871271742-0.187113484627613)×R²
    abs(0.78204258-0.78194671)×1.76133558702496e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76133558702496e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76133558702496e-05×40589641000000     		ar = 13054.5790647776m²