Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40923 / 8603
↖ ↑ ↗
← N 78.738865°
E 44.796753°		 ← 119.29 m → N 78.738865°
E 44.802246°		 →
↑
119.27 m
↓
↑
119.27 m
↓
N 78.737793°
E 44.796753°		 ← 119.30 m →
14 228 m²		 N 78.737793°
E 44.802246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624443054199219 y=0.131278991699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624443054199219 × 216)
    floor (0.624443054199219 × 65536)
    floor (40923.5)     		tx = 40923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131278991699219 × 216)
    floor (0.131278991699219 × 65536)
    floor (8603.5)     		ty = 8603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40923 / 8603 ti = "16/40923/8603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40923/8603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40923 ÷ 216
    40923 ÷ 65536     		x = 0.624435424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8603 ÷ 216
    8603 ÷ 65536     		y = 0.131271362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624435424804688 × 2 - 1) × π
    0.248870849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78185083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131271362304688 × 2 - 1) × π
    0.737457275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31679035863731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78185083} λ = 0.78185083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31679035863731))-π/2
    2×atan(10.1430663987647)-π/2
    2×1.47252438794556-π/2
    2.94504877589112-1.57079632675     		φ = 1.37425245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78185083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.796753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37425245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.738865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40923 KachelY 8603 0.78185083 1.37425245 44.796753 78.738865
    Oben rechts KachelX + 1 40924 KachelY 8603 0.78194671 1.37425245 44.802246 78.738865
    Unten links KachelX 40923 KachelY + 1 8604 0.78185083 1.37423373 44.796753 78.737793
    Unten rechts KachelX + 1 40924 KachelY + 1 8604 0.78194671 1.37423373 44.802246 78.737793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37425245-1.37423373) × R
    1.87199999999166e-05 × 6371000     		dl = 119.265119999469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37425245-1.37423373) × R
    1.87199999999166e-05 × 6371000     		dr = 119.265119999469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78185083-0.78194671) × cos(1.37425245) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.195280920165827 × 6371000     		do = 119.287639099117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78185083-0.78194671) × cos(1.37423373) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.195299279721979 × 6371000     		du = 119.298854061164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37425245)-sin(1.37423373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195280920165827-0.195299279721979)×R²
    abs(0.78194671-0.78185083)×1.83595561518146e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.83595561518146e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.83595561518146e-05×40589641000000     		ar = 14227.5233686397m²