Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40921 / 8607
↖ ↑ ↗
← N 78.734574°
E 44.785767°		 ← 119.32 m → N 78.734574°
E 44.791260°		 →
↑
119.33 m
↓
↑
119.33 m
↓
N 78.733501°
E 44.785767°		 ← 119.33 m →
14 239 m²		 N 78.733501°
E 44.791260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624412536621094 y=0.131340026855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624412536621094 × 216)
    floor (0.624412536621094 × 65536)
    floor (40921.5)     		tx = 40921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131340026855469 × 216)
    floor (0.131340026855469 × 65536)
    floor (8607.5)     		ty = 8607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40921 / 8607 ti = "16/40921/8607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40921/8607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40921 ÷ 216
    40921 ÷ 65536     		x = 0.624404907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8607 ÷ 216
    8607 ÷ 65536     		y = 0.131332397460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624404907226562 × 2 - 1) × π
    0.248809814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78165909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131332397460938 × 2 - 1) × π
    0.737335205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31640686344035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78165909} λ = 0.78165909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31640686344035))-π/2
    2×atan(10.1391773272861)-π/2
    2×1.47248693625538-π/2
    2.94497387251077-1.57079632675     		φ = 1.37417755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78165909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.785767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37417755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.734574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40921 KachelY 8607 0.78165909 1.37417755 44.785767 78.734574
    Oben rechts KachelX + 1 40922 KachelY 8607 0.78175496 1.37417755 44.791260 78.734574
    Unten links KachelX 40921 KachelY + 1 8608 0.78165909 1.37415882 44.785767 78.733501
    Unten rechts KachelX + 1 40922 KachelY + 1 8608 0.78175496 1.37415882 44.791260 78.733501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37417755-1.37415882) × R
    1.87300000000779e-05 × 6371000     		dl = 119.328830000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37417755-1.37415882) × R
    1.87300000000779e-05 × 6371000     		dr = 119.328830000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78165909-0.78175496) × cos(1.37417755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195354377594421 × 6371000     		do = 119.320064650632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78165909-0.78175496) × cos(1.37415882) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19537274668399 × 6371000     		du = 119.331284265887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37417755)-sin(1.37415882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195354377594421-0.19537274668399)×R²
    abs(0.78175496-0.78165909)×1.836908956937e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.836908956937e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.836908956937e-05×40589641000000     		ar = 14238.9931227907m²