Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40916 / 8614
↖ ↑ ↗
← N 78.727060°
E 44.758301°		 ← 119.40 m → N 78.727060°
E 44.763794°		 →
↑
119.46 m
↓
↑
119.46 m
↓
N 78.725985°
E 44.758301°		 ← 119.41 m →
14 264 m²		 N 78.725985°
E 44.763794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624336242675781 y=0.131446838378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624336242675781 × 216)
    floor (0.624336242675781 × 65536)
    floor (40916.5)     		tx = 40916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131446838378906 × 216)
    floor (0.131446838378906 × 65536)
    floor (8614.5)     		ty = 8614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40916 / 8614 ti = "16/40916/8614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40916/8614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40916 ÷ 216
    40916 ÷ 65536     		x = 0.62432861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8614 ÷ 216
    8614 ÷ 65536     		y = 0.131439208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62432861328125 × 2 - 1) × π
    0.2486572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78117972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131439208984375 × 2 - 1) × π
    0.73712158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31573574684567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78117972} λ = 0.78117972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31573574684567))-π/2
    2×atan(10.1323750399446)-π/2
    2×1.47242136189414-π/2
    2.94484272378829-1.57079632675     		φ = 1.37404640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78117972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.758301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37404640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.727060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40916 KachelY 8614 0.78117972 1.37404640 44.758301 78.727060
    Oben rechts KachelX + 1 40917 KachelY 8614 0.78127559 1.37404640 44.763794 78.727060
    Unten links KachelX 40916 KachelY + 1 8615 0.78117972 1.37402765 44.758301 78.725985
    Unten rechts KachelX + 1 40917 KachelY + 1 8615 0.78127559 1.37402765 44.763794 78.725985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37404640-1.37402765) × R
    1.87499999999563e-05 × 6371000     		dl = 119.456249999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37404640-1.37402765) × R
    1.87499999999563e-05 × 6371000     		dr = 119.456249999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78117972-0.78127559) × cos(1.37404640) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195482999010139 × 6371000     		do = 119.398625038313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78117972-0.78127559) × cos(1.37402765) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19550138723372 × 6371000     		du = 119.409856340388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37404640)-sin(1.37402765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195482999010139-0.19550138723372)×R²
    abs(0.78127559-0.78117972)×1.83882235810229e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.83882235810229e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.83882235810229e-05×40589641000000     		ar = 14263.5828269914m²