Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40915 / 8611
↖ ↑ ↗
← N 78.730280°
E 44.752807°		 ← 119.38 m → N 78.730280°
E 44.758301°		 →
↑
119.33 m
↓
↑
119.33 m
↓
N 78.729207°
E 44.752807°		 ← 119.39 m →
14 246 m²		 N 78.729207°
E 44.758301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624320983886719 y=0.131401062011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624320983886719 × 216)
    floor (0.624320983886719 × 65536)
    floor (40915.5)     		tx = 40915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131401062011719 × 216)
    floor (0.131401062011719 × 65536)
    floor (8611.5)     		ty = 8611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40915 / 8611 ti = "16/40915/8611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40915/8611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40915 ÷ 216
    40915 ÷ 65536     		x = 0.624313354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8611 ÷ 216
    8611 ÷ 65536     		y = 0.131393432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624313354492188 × 2 - 1) × π
    0.248626708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78108384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131393432617188 × 2 - 1) × π
    0.737213134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31602336824339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78108384} λ = 0.78108384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31602336824339))-π/2
    2×atan(10.1352897469618)-π/2
    2×1.47244947047674-π/2
    2.94489894095348-1.57079632675     		φ = 1.37410261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78108384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.752807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37410261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.730280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40915 KachelY 8611 0.78108384 1.37410261 44.752807 78.730280
    Oben rechts KachelX + 1 40916 KachelY 8611 0.78117972 1.37410261 44.758301 78.730280
    Unten links KachelX 40915 KachelY + 1 8612 0.78108384 1.37408388 44.752807 78.729207
    Unten rechts KachelX + 1 40916 KachelY + 1 8612 0.78117972 1.37408388 44.758301 78.729207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37410261-1.37408388) × R
    1.87300000000779e-05 × 6371000     		dl = 119.328830000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37410261-1.37408388) × R
    1.87300000000779e-05 × 6371000     		dr = 119.328830000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78108384-0.78117972) × cos(1.37410261) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.195427873155798 × 6371000     		do = 119.377405550531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78108384-0.78117972) × cos(1.37408388) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.195446241971098 × 6371000     		du = 119.388626168543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37410261)-sin(1.37408388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195427873155798-0.195446241971098)×R²
    abs(0.78117972-0.78108384)×1.83688153003736e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.83688153003736e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.83688153003736e-05×40589641000000     		ar = 14245.8356047108m²