Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40915 / 8142
↖ ↑ ↗
← N 79.222814°
E 44.752807°		 ← 114.22 m → N 79.222814°
E 44.758301°		 →
↑
114.23 m
↓
↑
114.23 m
↓
N 79.221787°
E 44.752807°		 ← 114.23 m →
13 049 m²		 N 79.221787°
E 44.758301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624320983886719 y=0.124244689941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624320983886719 × 216)
    floor (0.624320983886719 × 65536)
    floor (40915.5)     		tx = 40915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124244689941406 × 216)
    floor (0.124244689941406 × 65536)
    floor (8142.5)     		ty = 8142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40915 / 8142 ti = "16/40915/8142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40915/8142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40915 ÷ 216
    40915 ÷ 65536     		x = 0.624313354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8142 ÷ 216
    8142 ÷ 65536     		y = 0.124237060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624313354492188 × 2 - 1) × π
    0.248626708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78108384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124237060546875 × 2 - 1) × π
    0.75152587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36098818008701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78108384} λ = 0.78108384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36098818008701))-π/2
    2×atan(10.6014223924967)-π/2
    2×1.47674763806791-π/2
    2.95349527613582-1.57079632675     		φ = 1.38269895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78108384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.752807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38269895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.222814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40915 KachelY 8142 0.78108384 1.38269895 44.752807 79.222814
    Oben rechts KachelX + 1 40916 KachelY 8142 0.78117972 1.38269895 44.758301 79.222814
    Unten links KachelX 40915 KachelY + 1 8143 0.78108384 1.38268102 44.752807 79.221787
    Unten rechts KachelX + 1 40916 KachelY + 1 8143 0.78117972 1.38268102 44.758301 79.221787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38269895-1.38268102) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dl = 114.232030000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38269895-1.38268102) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dr = 114.232030000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78108384-0.78117972) × cos(1.38269895) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.186990170226365 × 6371000     		do = 114.223222228285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78108384-0.78117972) × cos(1.38268102) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.187007783943109 × 6371000     		du = 114.233981593226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38269895)-sin(1.38268102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186990170226365-0.187007783943109)×R²
    abs(0.78117972-0.78108384)×1.76137167433588e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.76137167433588e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.76137167433588e-05×40589641000000     		ar = 13048.5650810459m²