Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40911 / 8600
↖ ↑ ↗
← N 78.742083°
E 44.730835°		 ← 119.24 m → N 78.742083°
E 44.736328°		 →
↑
119.27 m
↓
↑
119.27 m
↓
N 78.741011°
E 44.730835°		 ← 119.25 m →
14 222 m²		 N 78.741011°
E 44.736328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624259948730469 y=0.131233215332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624259948730469 × 216)
    floor (0.624259948730469 × 65536)
    floor (40911.5)     		tx = 40911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131233215332031 × 216)
    floor (0.131233215332031 × 65536)
    floor (8600.5)     		ty = 8600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40911 / 8600 ti = "16/40911/8600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40911/8600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40911 ÷ 216
    40911 ÷ 65536     		x = 0.624252319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8600 ÷ 216
    8600 ÷ 65536     		y = 0.1312255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624252319335938 × 2 - 1) × π
    0.248504638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78070035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1312255859375 × 2 - 1) × π
    0.737548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31707798003503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78070035} λ = 0.78070035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31707798003503))-π/2
    2×atan(10.1459841812877)-π/2
    2×1.4725524674707-π/2
    2.9451049349414-1.57079632675     		φ = 1.37430861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78070035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.730835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37430861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.742083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40911 KachelY 8600 0.78070035 1.37430861 44.730835 78.742083
    Oben rechts KachelX + 1 40912 KachelY 8600 0.78079622 1.37430861 44.736328 78.742083
    Unten links KachelX 40911 KachelY + 1 8601 0.78070035 1.37428989 44.730835 78.741011
    Unten rechts KachelX + 1 40912 KachelY + 1 8601 0.78079622 1.37428989 44.736328 78.741011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37430861-1.37428989) × R
    1.87199999999166e-05 × 6371000     		dl = 119.265119999469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37430861-1.37428989) × R
    1.87199999999166e-05 × 6371000     		dr = 119.265119999469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78070035-0.78079622) × cos(1.37430861) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195225841086793 × 6371000     		do = 119.241556123774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78070035-0.78079622) × cos(1.37428989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195244200848228 × 6371000     		du = 119.252770041518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37430861)-sin(1.37428989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195225841086793-0.195244200848228)×R²
    abs(0.78079622-0.78070035)×1.83597614343001e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.83597614343001e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.83597614343001e-05×40589641000000     		ar = 14222.0272151866m²