Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40910 / 8613
↖ ↑ ↗
← N 78.728133°
E 44.725342°		 ← 119.40 m → N 78.728133°
E 44.730835°		 →
↑
119.39 m
↓
↑
119.39 m
↓
N 78.727060°
E 44.725342°		 ← 119.41 m →
14 256 m²		 N 78.727060°
E 44.730835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624244689941406 y=0.131431579589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624244689941406 × 216)
    floor (0.624244689941406 × 65536)
    floor (40910.5)     		tx = 40910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131431579589844 × 216)
    floor (0.131431579589844 × 65536)
    floor (8613.5)     		ty = 8613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40910 / 8613 ti = "16/40910/8613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40910/8613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40910 ÷ 216
    40910 ÷ 65536     		x = 0.624237060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8613 ÷ 216
    8613 ÷ 65536     		y = 0.131423950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624237060546875 × 2 - 1) × π
    0.24847412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78060447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131423950195312 × 2 - 1) × π
    0.737152099609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31583162064491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78060447} λ = 0.78060447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31583162064491))-π/2
    2×atan(10.1333465158038)-π/2
    2×1.47243073230266-π/2
    2.94486146460531-1.57079632675     		φ = 1.37406514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78060447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.725342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37406514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.728133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40910 KachelY 8613 0.78060447 1.37406514 44.725342 78.728133
    Oben rechts KachelX + 1 40911 KachelY 8613 0.78070035 1.37406514 44.730835 78.728133
    Unten links KachelX 40910 KachelY + 1 8614 0.78060447 1.37404640 44.725342 78.727060
    Unten rechts KachelX + 1 40911 KachelY + 1 8614 0.78070035 1.37404640 44.730835 78.727060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37406514-1.37404640) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dl = 119.392540000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37406514-1.37404640) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dr = 119.392540000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78060447-0.78070035) × cos(1.37406514) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.195464620524941 × 6371000     		do = 119.399852735359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78060447-0.78070035) × cos(1.37404640) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.195482999010139 × 6371000     		du = 119.411079260242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37406514)-sin(1.37404640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195464620524941-0.195482999010139)×R²
    abs(0.78070035-0.78060447)×1.8378485198034e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.8378485198034e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.8378485198034e-05×40589641000000     		ar = 14256.1218759744m²