Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40909 / 8609
↖ ↑ ↗
← N 78.732427°
E 44.719849°		 ← 119.34 m → N 78.732427°
E 44.725342°		 →
↑
119.33 m
↓
↑
119.33 m
↓
N 78.731354°
E 44.719849°		 ← 119.35 m →
14 242 m²		 N 78.731354°
E 44.725342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624229431152344 y=0.131370544433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624229431152344 × 216)
    floor (0.624229431152344 × 65536)
    floor (40909.5)     		tx = 40909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131370544433594 × 216)
    floor (0.131370544433594 × 65536)
    floor (8609.5)     		ty = 8609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40909 / 8609 ti = "16/40909/8609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40909/8609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40909 ÷ 216
    40909 ÷ 65536     		x = 0.624221801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8609 ÷ 216
    8609 ÷ 65536     		y = 0.131362915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624221801757812 × 2 - 1) × π
    0.248443603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78050860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131362915039062 × 2 - 1) × π
    0.737274169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31621511584187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78050860} λ = 0.78050860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31621511584187))-π/2
    2×atan(10.1372333507654)-π/2
    2×1.47246820512744-π/2
    2.94493641025488-1.57079632675     		φ = 1.37414008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78050860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.719849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37414008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.732427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40909 KachelY 8609 0.78050860 1.37414008 44.719849 78.732427
    Oben rechts KachelX + 1 40910 KachelY 8609 0.78060447 1.37414008 44.725342 78.732427
    Unten links KachelX 40909 KachelY + 1 8610 0.78050860 1.37412135 44.719849 78.731354
    Unten rechts KachelX + 1 40910 KachelY + 1 8610 0.78060447 1.37412135 44.725342 78.731354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37414008-1.37412135) × R
    1.87300000000779e-05 × 6371000     		dl = 119.328830000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37414008-1.37412135) × R
    1.87300000000779e-05 × 6371000     		dr = 119.328830000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78050860-0.78060447) × cos(1.37414008) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195391125512274 × 6371000     		do = 119.342509829429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78050860-0.78060447) × cos(1.37412135) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195409494464722 × 6371000     		du = 119.353729360932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37414008)-sin(1.37412135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195391125512274-0.195409494464722)×R²
    abs(0.78060447-0.78050860)×1.83689524477504e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.83689524477504e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.83689524477504e-05×40589641000000     		ar = 14241.6714742391m²