Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40905 / 8619
↖ ↑ ↗
← N 78.721689°
E 44.697876°		 ← 119.47 m → N 78.721689°
E 44.703369°		 →
↑
119.46 m
↓
↑
119.46 m
↓
N 78.720615°
E 44.697876°		 ← 119.48 m →
14 272 m²		 N 78.720615°
E 44.703369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624168395996094 y=0.131523132324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624168395996094 × 216)
    floor (0.624168395996094 × 65536)
    floor (40905.5)     		tx = 40905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131523132324219 × 216)
    floor (0.131523132324219 × 65536)
    floor (8619.5)     		ty = 8619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40905 / 8619 ti = "16/40905/8619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40905/8619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40905 ÷ 216
    40905 ÷ 65536     		x = 0.624160766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8619 ÷ 216
    8619 ÷ 65536     		y = 0.131515502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624160766601562 × 2 - 1) × π
    0.248321533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78012510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131515502929688 × 2 - 1) × π
    0.736968994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31525637784947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78012510} λ = 0.78012510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31525637784947))-π/2
    2×atan(10.1275190574893)-π/2
    2×1.4723744966337-π/2
    2.9447489932674-1.57079632675     		φ = 1.37395267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78012510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.697876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37395267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.721689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40905 KachelY 8619 0.78012510 1.37395267 44.697876 78.721689
    Oben rechts KachelX + 1 40906 KachelY 8619 0.78022098 1.37395267 44.703369 78.721689
    Unten links KachelX 40905 KachelY + 1 8620 0.78012510 1.37393392 44.697876 78.720615
    Unten rechts KachelX + 1 40906 KachelY + 1 8620 0.78022098 1.37393392 44.703369 78.720615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37395267-1.37393392) × R
    1.87499999999563e-05 × 6371000     		dl = 119.456249999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37395267-1.37393392) × R
    1.87499999999563e-05 × 6371000     		dr = 119.456249999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78012510-0.78022098) × cos(1.37395267) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.195574919826895 × 6371000     		do = 119.467229227062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78012510-0.78022098) × cos(1.37393392) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.19559330770683 × 6371000     		du = 119.478461490734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37395267)-sin(1.37393392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195574919826895-0.19559330770683)×R²
    abs(0.78022098-0.78012510)×1.83878799349391e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.83878799349391e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.83878799349391e-05×40589641000000     		ar = 14271.7780836194m²