Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40900 / 8700
↖ ↑ ↗
← N 78.634337°
E 44.670410°		 ← 120.37 m → N 78.634337°
E 44.675903°		 →
↑
120.41 m
↓
↑
120.41 m
↓
N 78.633254°
E 44.670410°		 ← 120.38 m →
14 494 m²		 N 78.633254°
E 44.675903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624092102050781 y=0.132759094238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624092102050781 × 216)
    floor (0.624092102050781 × 65536)
    floor (40900.5)     		tx = 40900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132759094238281 × 216)
    floor (0.132759094238281 × 65536)
    floor (8700.5)     		ty = 8700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40900 / 8700 ti = "16/40900/8700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40900/8700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40900 ÷ 216
    40900 ÷ 65536     		x = 0.62408447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8700 ÷ 216
    8700 ÷ 65536     		y = 0.13275146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62408447265625 × 2 - 1) × π
    0.2481689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77964574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13275146484375 × 2 - 1) × π
    0.7344970703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30749060011102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77964574} λ = 0.77964574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30749060011102))-π/2
    2×atan(10.0491755881552)-π/2
    2×1.4716122021738-π/2
    2.94322440434761-1.57079632675     		φ = 1.37242808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77964574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.670410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37242808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.634337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40900 KachelY 8700 0.77964574 1.37242808 44.670410 78.634337
    Oben rechts KachelX + 1 40901 KachelY 8700 0.77974161 1.37242808 44.675903 78.634337
    Unten links KachelX 40900 KachelY + 1 8701 0.77964574 1.37240918 44.670410 78.633254
    Unten rechts KachelX + 1 40901 KachelY + 1 8701 0.77974161 1.37240918 44.675903 78.633254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37242808-1.37240918) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dl = 120.411899999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37242808-1.37240918) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dr = 120.411899999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77964574-0.77974161) × cos(1.37242808) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197069840234881 × 6371000     		do = 120.367848251317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77964574-0.77974161) × cos(1.37240918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19708836956033 × 6371000     		du = 120.379165736687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37242808)-sin(1.37240918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197069840234881-0.19708836956033)×R²
    abs(0.77974161-0.77964574)×1.85293254485741e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.85293254485741e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.85293254485741e-05×40589641000000     		ar = 14494.4026873554m²