Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40900 / 8596
↖ ↑ ↗
← N 78.746372°
E 44.670410°		 ← 119.20 m → N 78.746372°
E 44.675903°		 →
↑
119.20 m
↓
↑
119.20 m
↓
N 78.745300°
E 44.670410°		 ← 119.21 m →
14 209 m²		 N 78.745300°
E 44.675903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624092102050781 y=0.131172180175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624092102050781 × 216)
    floor (0.624092102050781 × 65536)
    floor (40900.5)     		tx = 40900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131172180175781 × 216)
    floor (0.131172180175781 × 65536)
    floor (8596.5)     		ty = 8596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40900 / 8596 ti = "16/40900/8596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40900/8596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40900 ÷ 216
    40900 ÷ 65536     		x = 0.62408447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8596 ÷ 216
    8596 ÷ 65536     		y = 0.13116455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62408447265625 × 2 - 1) × π
    0.2481689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77964574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13116455078125 × 2 - 1) × π
    0.7376708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31746147523199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77964574} λ = 0.77964574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31746147523199))-π/2
    2×atan(10.1498758636627)-π/2
    2×1.4725898945183-π/2
    2.94517978903661-1.57079632675     		φ = 1.37438346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77964574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.670410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37438346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.746372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40900 KachelY 8596 0.77964574 1.37438346 44.670410 78.746372
    Oben rechts KachelX + 1 40901 KachelY 8596 0.77974161 1.37438346 44.675903 78.746372
    Unten links KachelX 40900 KachelY + 1 8597 0.77964574 1.37436475 44.670410 78.745300
    Unten rechts KachelX + 1 40901 KachelY + 1 8597 0.77974161 1.37436475 44.675903 78.745300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37438346-1.37436475) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dl = 119.201409999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37438346-1.37436475) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dr = 119.201409999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77964574-0.77974161) × cos(1.37438346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195152430780161 × 6371000     		do = 119.196718006292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77964574-0.77974161) × cos(1.37436475) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195170781007413 × 6371000     		du = 119.207926100674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37438346)-sin(1.37436475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195152430780161-0.195170781007413)×R²
    abs(0.77974161-0.77964574)×1.83502272519676e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.83502272519676e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.83502272519676e-05×40589641000000     		ar = 14209.0848643022m²