Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 409 / 209
↖ ↑ ↗
← N 31.353637°
E107.578125°		 ← 66.767 km → N 31.353637°
E108.281250°		 →
↑
66.979 km
↓
↑
66.979 km
↓
N 30.751278°
E107.578125°		 ← 67.191 km →
4 486.24 km²		 N 30.751278°
E108.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7998046875 y=0.4091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7998046875 × 29)
    floor (0.7998046875 × 512)
    floor (409.5)     		tx = 409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4091796875 × 29)
    floor (0.4091796875 × 512)
    floor (209.5)     		ty = 209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 409 / 209 ti = "9/409/209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/409/209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 409 ÷ 29
    409 ÷ 512     		x = 0.798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 209 ÷ 29
    209 ÷ 512     		y = 0.408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.798828125 × 2 - 1) × π
    0.59765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.87759248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408203125 × 2 - 1) × π
    0.18359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.576776776228516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87759248} λ = 1.87759248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.576776776228516))-π/2
    2×atan(1.78029089699302)-π/2
    2×1.05901026194247-π/2
    2.11802052388494-1.57079632675     		φ = 0.54722420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87759248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54722420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.353637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 409 KachelY 209 1.87759248 0.54722420 107.578125 31.353637
    Oben rechts KachelX + 1 410 KachelY 209 1.88986433 0.54722420 108.281250 31.353637
    Unten links KachelX 409 KachelY + 1 210 1.87759248 0.53671105 107.578125 30.751278
    Unten rechts KachelX + 1 410 KachelY + 1 210 1.88986433 0.53671105 108.281250 30.751278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54722420-0.53671105) × R
    0.0105131500000001 × 6371000     		dl = 66979.2786500005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54722420-0.53671105) × R
    0.0105131500000001 × 6371000     		dr = 66979.2786500005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87759248-1.88986433) × cos(0.54722420) × R
    0.0122718500000001 × 0.853972111029799 × 6371000     		do = 66766.9182528716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87759248-1.88986433) × cos(0.53671105) × R
    0.0122718500000001 × 0.859395006889381 × 6371000     		du = 67190.9017060478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54722420)-sin(0.53671105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853972111029799-0.859395006889381)×R²
    abs(1.88986433-1.87759248)×0.00542289585958255×R²
    0.0122718500000001×0.00542289585958255×6371000²
    0.0122718500000001×0.00542289585958255×40589641000000     		ar = 4486240395.90158m²