Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40895 / 9925
↖ ↑ ↗
← N 77.229004°
E 44.642945°		 ← 135.02 m → N 77.229004°
E 44.648437°		 →
↑
135 m
↓
↑
135 m
↓
N 77.227789°
E 44.642945°		 ← 135.03 m →
18 228 m²		 N 77.227789°
E 44.648437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624015808105469 y=0.151451110839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624015808105469 × 216)
    floor (0.624015808105469 × 65536)
    floor (40895.5)     		tx = 40895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151451110839844 × 216)
    floor (0.151451110839844 × 65536)
    floor (9925.5)     		ty = 9925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40895 / 9925 ti = "16/40895/9925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40895/9925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40895 ÷ 216
    40895 ÷ 65536     		x = 0.624008178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9925 ÷ 216
    9925 ÷ 65536     		y = 0.151443481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624008178710938 × 2 - 1) × π
    0.248016357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77916637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151443481445312 × 2 - 1) × π
    0.697113037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19004519604189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77916637} λ = 0.77916637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19004519604189))-π/2
    2×atan(8.93561696009097)-π/2
    2×1.4593483590048-π/2
    2.9186967180096-1.57079632675     		φ = 1.34790039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77916637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.642945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34790039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.229004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40895 KachelY 9925 0.77916637 1.34790039 44.642945 77.229004
    Oben rechts KachelX + 1 40896 KachelY 9925 0.77926224 1.34790039 44.648437 77.229004
    Unten links KachelX 40895 KachelY + 1 9926 0.77916637 1.34787920 44.642945 77.227789
    Unten rechts KachelX + 1 40896 KachelY + 1 9926 0.77926224 1.34787920 44.648437 77.227789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34790039-1.34787920) × R
    2.11900000000043e-05 × 6371000     		dl = 135.001490000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34790039-1.34787920) × R
    2.11900000000043e-05 × 6371000     		dr = 135.001490000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77916637-0.77926224) × cos(1.34790039) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22105484137696 × 6371000     		do = 135.017593612334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77916637-0.77926224) × cos(1.34787920) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221075507115948 × 6371000     		du = 135.030215992966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34790039)-sin(1.34787920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22105484137696-0.221075507115948)×R²
    abs(0.77926224-0.77916637)×2.0665738987985e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.0665738987985e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.0665738987985e-05×40589641000000     		ar = 18228.4283348504m²