Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40892 / 9926
↖ ↑ ↗
← N 77.227789°
E 44.626465°		 ← 135.03 m → N 77.227789°
E 44.631958°		 →
↑
135.07 m
↓
↑
135.07 m
↓
N 77.226575°
E 44.626465°		 ← 135.04 m →
18 239 m²		 N 77.226575°
E 44.631958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623970031738281 y=0.151466369628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623970031738281 × 216)
    floor (0.623970031738281 × 65536)
    floor (40892.5)     		tx = 40892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151466369628906 × 216)
    floor (0.151466369628906 × 65536)
    floor (9926.5)     		ty = 9926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40892 / 9926 ti = "16/40892/9926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40892/9926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40892 ÷ 216
    40892 ÷ 65536     		x = 0.62396240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9926 ÷ 216
    9926 ÷ 65536     		y = 0.151458740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62396240234375 × 2 - 1) × π
    0.2479248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77887875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151458740234375 × 2 - 1) × π
    0.69708251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18994932224265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77887875} λ = 0.77887875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18994932224265))-π/2
    2×atan(8.93476030961028)-π/2
    2×1.4593377618257-π/2
    2.91867552365139-1.57079632675     		φ = 1.34787920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77887875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.626465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34787920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.227789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40892 KachelY 9926 0.77887875 1.34787920 44.626465 77.227789
    Oben rechts KachelX + 1 40893 KachelY 9926 0.77897462 1.34787920 44.631958 77.227789
    Unten links KachelX 40892 KachelY + 1 9927 0.77887875 1.34785800 44.626465 77.226575
    Unten rechts KachelX + 1 40893 KachelY + 1 9927 0.77897462 1.34785800 44.631958 77.226575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34787920-1.34785800) × R
    2.11999999999435e-05 × 6371000     		dl = 135.06519999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34787920-1.34785800) × R
    2.11999999999435e-05 × 6371000     		dr = 135.06519999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77887875-0.77897462) × cos(1.34787920) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221075507115948 × 6371000     		do = 135.030215992966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77887875-0.77897462) × cos(1.34785800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22109618250819 × 6371000     		du = 135.042844269687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34787920)-sin(1.34785800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221075507115948-0.22109618250819)×R²
    abs(0.77897462-0.77887875)×2.06753922415703e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.06753922415703e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.06753922415703e-05×40589641000000     		ar = 18238.7359501628m²