Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40892 / 9923
↖ ↑ ↗
← N 77.231432°
E 44.626465°		 ← 134.99 m → N 77.231432°
E 44.631958°		 →
↑
135 m
↓
↑
135 m
↓
N 77.230218°
E 44.626465°		 ← 135 m →
18 225 m²		 N 77.230218°
E 44.631958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623970031738281 y=0.151420593261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623970031738281 × 216)
    floor (0.623970031738281 × 65536)
    floor (40892.5)     		tx = 40892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151420593261719 × 216)
    floor (0.151420593261719 × 65536)
    floor (9923.5)     		ty = 9923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40892 / 9923 ti = "16/40892/9923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40892/9923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40892 ÷ 216
    40892 ÷ 65536     		x = 0.62396240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9923 ÷ 216
    9923 ÷ 65536     		y = 0.151412963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62396240234375 × 2 - 1) × π
    0.2479248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77887875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151412963867188 × 2 - 1) × π
    0.697174072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19023694364037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77887875} λ = 0.77887875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19023694364037))-π/2
    2×atan(8.93733050746306)-π/2
    2×1.45936955039066-π/2
    2.91873910078133-1.57079632675     		φ = 1.34794277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77887875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.626465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34794277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.231432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40892 KachelY 9923 0.77887875 1.34794277 44.626465 77.231432
    Oben rechts KachelX + 1 40893 KachelY 9923 0.77897462 1.34794277 44.631958 77.231432
    Unten links KachelX 40892 KachelY + 1 9924 0.77887875 1.34792158 44.626465 77.230218
    Unten rechts KachelX + 1 40893 KachelY + 1 9924 0.77897462 1.34792158 44.631958 77.230218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34794277-1.34792158) × R
    2.11900000000043e-05 × 6371000     		dl = 135.001490000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34794277-1.34792158) × R
    2.11900000000043e-05 × 6371000     		dr = 135.001490000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77887875-0.77897462) × cos(1.34794277) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221013509601222 × 6371000     		do = 134.992348669201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77887875-0.77897462) × cos(1.34792158) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221034175538715 × 6371000     		du = 135.004971171077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34794277)-sin(1.34792158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221013509601222-0.221034175538715)×R²
    abs(0.77897462-0.77887875)×2.06659374930585e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.06659374930585e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.06659374930585e-05×40589641000000     		ar = 18225.0202382093m²