Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40892 / 8563
↖ ↑ ↗
← N 78.781693°
E 44.626465°		 ← 118.83 m → N 78.781693°
E 44.631958°		 →
↑
118.88 m
↓
↑
118.88 m
↓
N 78.780624°
E 44.626465°		 ← 118.84 m →
14 127 m²		 N 78.780624°
E 44.631958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623970031738281 y=0.130668640136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623970031738281 × 216)
    floor (0.623970031738281 × 65536)
    floor (40892.5)     		tx = 40892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130668640136719 × 216)
    floor (0.130668640136719 × 65536)
    floor (8563.5)     		ty = 8563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40892 / 8563 ti = "16/40892/8563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40892/8563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40892 ÷ 216
    40892 ÷ 65536     		x = 0.62396240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8563 ÷ 216
    8563 ÷ 65536     		y = 0.130661010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62396240234375 × 2 - 1) × π
    0.2479248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77887875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130661010742188 × 2 - 1) × π
    0.738677978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32062531060692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77887875} λ = 0.77887875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32062531060692))-π/2
    2×atan(10.1820392529765)-π/2
    2×1.47289813110025-π/2
    2.9457962622005-1.57079632675     		φ = 1.37499994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77887875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.626465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37499994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.781693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40892 KachelY 8563 0.77887875 1.37499994 44.626465 78.781693
    Oben rechts KachelX + 1 40893 KachelY 8563 0.77897462 1.37499994 44.631958 78.781693
    Unten links KachelX 40892 KachelY + 1 8564 0.77887875 1.37498128 44.626465 78.780624
    Unten rechts KachelX + 1 40893 KachelY + 1 8564 0.77897462 1.37498128 44.631958 78.780624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37499994-1.37498128) × R
    1.86599999998371e-05 × 6371000     		dl = 118.882859998962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37499994-1.37498128) × R
    1.86599999998371e-05 × 6371000     		dr = 118.882859998962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77887875-0.77897462) × cos(1.37499994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19454776684257 × 6371000     		do = 118.827396668251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77887875-0.77897462) × cos(1.37498128) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.194566070272925 × 6371000     		du = 118.838576179661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37499994)-sin(1.37498128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19454776684257-0.194566070272925)×R²
    abs(0.77897462-0.77887875)×1.83034303546936e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.83034303546936e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.83034303546936e-05×40589641000000     		ar = 14127.2052888107m²