Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4089 / 20467
↖ ↑ ↗
← S 40.871988°
W135.076904°		 ← 923.72 m → S 40.871988°
W135.065918°		 →
↑
923.67 m
↓
↑
923.67 m
↓
S 40.880295°
W135.076904°		 ← 923.61 m →
853 159 m²		 S 40.880295°
W135.065918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124801635742188 y=0.624618530273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124801635742188 × 215)
    floor (0.124801635742188 × 32768)
    floor (4089.5)     		tx = 4089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624618530273438 × 215)
    floor (0.624618530273438 × 32768)
    floor (20467.5)     		ty = 20467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4089 / 20467 ti = "15/4089/20467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4089/20467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4089 ÷ 215
    4089 ÷ 32768     		x = 0.124786376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20467 ÷ 215
    20467 ÷ 32768     		y = 0.624603271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.75042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.35753672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.24920654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.782905444594757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35753672} λ = -2.35753672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782905444594757))-π/2
    2×atan(0.457076071006968)-π/2
    2×0.428722784311318-π/2
    0.857445568622637-1.57079632675     		φ = -0.71335076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35753672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.076904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71335076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.871988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4089 KachelY 20467 -2.35753672 -0.71335076 -135.076904 -40.871988
    Oben rechts KachelX + 1 4090 KachelY 20467 -2.35734498 -0.71335076 -135.065918 -40.871988
    Unten links KachelX 4089 KachelY + 1 20468 -2.35753672 -0.71349574 -135.076904 -40.880295
    Unten rechts KachelX + 1 4090 KachelY + 1 20468 -2.35734498 -0.71349574 -135.065918 -40.880295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71335076--0.71349574) × R
    0.000144980000000072 × 6371000     		dl = 923.66758000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71335076--0.71349574) × R
    0.000144980000000072 × 6371000     		dr = 923.66758000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35753672--2.35734498) × cos(-0.71335076) × R
    0.000191739999999996 × 0.756173484265919 × 6371000     		do = 923.723032375801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35753672--2.35734498) × cos(-0.71349574) × R
    0.000191739999999996 × 0.756078605583225 × 6371000     		du = 923.607130897755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71335076)-sin(-0.71349574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756173484265919-0.756078605583225)×R²
    abs(-2.35734498--2.35753672)×9.48786826936443e-05×R²
    0.000191739999999996×9.48786826936443e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.48786826936443e-05×40589641000000     		ar = 853159.492181105m²