Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40887 / 8654
↖ ↑ ↗
← N 78.684026°
E 44.598999°		 ← 119.85 m → N 78.684026°
E 44.604492°		 →
↑
119.90 m
↓
↑
119.90 m
↓
N 78.682948°
E 44.598999°		 ← 119.86 m →
14 371 m²		 N 78.682948°
E 44.604492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623893737792969 y=0.132057189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623893737792969 × 216)
    floor (0.623893737792969 × 65536)
    floor (40887.5)     		tx = 40887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132057189941406 × 216)
    floor (0.132057189941406 × 65536)
    floor (8654.5)     		ty = 8654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40887 / 8654 ti = "16/40887/8654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40887/8654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40887 ÷ 216
    40887 ÷ 65536     		x = 0.623886108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8654 ÷ 216
    8654 ÷ 65536     		y = 0.132049560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623886108398438 × 2 - 1) × π
    0.247772216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77839938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132049560546875 × 2 - 1) × π
    0.73590087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31190079487607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77839938} λ = 0.77839938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31190079487607))-π/2
    2×atan(10.0935922808686)-π/2
    2×1.4720458222146-π/2
    2.94409164442921-1.57079632675     		φ = 1.37329532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77839938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.598999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37329532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.684026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40887 KachelY 8654 0.77839938 1.37329532 44.598999 78.684026
    Oben rechts KachelX + 1 40888 KachelY 8654 0.77849525 1.37329532 44.604492 78.684026
    Unten links KachelX 40887 KachelY + 1 8655 0.77839938 1.37327650 44.598999 78.682948
    Unten rechts KachelX + 1 40888 KachelY + 1 8655 0.77849525 1.37327650 44.604492 78.682948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37329532-1.37327650) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dl = 119.902219999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37329532-1.37327650) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dr = 119.902219999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77839938-0.77849525) × cos(1.37329532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196219533284272 × 6371000     		do = 119.848491165139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77839938-0.77849525) × cos(1.37327650) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196237987388541 × 6371000     		du = 119.859762706332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37329532)-sin(1.37327650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196219533284272-0.196237987388541)×R²
    abs(0.77849525-0.77839938)×1.84541042683173e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84541042683173e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84541042683173e-05×40589641000000     		ar = 14370.7758964215m²