Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40885 / 8657
↖ ↑ ↗
← N 78.680792°
E 44.588013°		 ← 119.88 m → N 78.680792°
E 44.593506°		 →
↑
119.90 m
↓
↑
119.90 m
↓
N 78.679713°
E 44.588013°		 ← 119.89 m →
14 375 m²		 N 78.679713°
E 44.593506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623863220214844 y=0.132102966308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623863220214844 × 216)
    floor (0.623863220214844 × 65536)
    floor (40885.5)     		tx = 40885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132102966308594 × 216)
    floor (0.132102966308594 × 65536)
    floor (8657.5)     		ty = 8657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40885 / 8657 ti = "16/40885/8657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40885/8657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40885 ÷ 216
    40885 ÷ 65536     		x = 0.623855590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8657 ÷ 216
    8657 ÷ 65536     		y = 0.132095336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623855590820312 × 2 - 1) × π
    0.247711181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77820763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132095336914062 × 2 - 1) × π
    0.735809326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31161317347835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77820763} λ = 0.77820763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31161317347835))-π/2
    2×atan(10.0906895652103)-π/2
    2×1.47201759976647-π/2
    2.94403519953294-1.57079632675     		φ = 1.37323887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77820763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.588013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37323887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.680792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40885 KachelY 8657 0.77820763 1.37323887 44.588013 78.680792
    Oben rechts KachelX + 1 40886 KachelY 8657 0.77830350 1.37323887 44.593506 78.680792
    Unten links KachelX 40885 KachelY + 1 8658 0.77820763 1.37322005 44.588013 78.679713
    Unten rechts KachelX + 1 40886 KachelY + 1 8658 0.77830350 1.37322005 44.593506 78.679713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37323887-1.37322005) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dl = 119.902219999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37323887-1.37322005) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dr = 119.902219999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77820763-0.77830350) × cos(1.37323887) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196274885583064 × 6371000     		do = 119.882299672282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77820763-0.77830350) × cos(1.37322005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196293339478831 × 6371000     		du = 119.893571086126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37323887)-sin(1.37322005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196274885583064-0.196293339478831)×R²
    abs(0.77830350-0.77820763)×1.84538957676561e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84538957676561e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84538957676561e-05×40589641000000     		ar = 14374.8296036844m²