Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40882 / 8659
↖ ↑ ↗
← N 78.678635°
E 44.571533°		 ← 119.90 m → N 78.678635°
E 44.577026°		 →
↑
119.90 m
↓
↑
119.90 m
↓
N 78.677557°
E 44.571533°		 ← 119.92 m →
14 378 m²		 N 78.677557°
E 44.577026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623817443847656 y=0.132133483886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623817443847656 × 216)
    floor (0.623817443847656 × 65536)
    floor (40882.5)     		tx = 40882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132133483886719 × 216)
    floor (0.132133483886719 × 65536)
    floor (8659.5)     		ty = 8659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40882 / 8659 ti = "16/40882/8659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40882/8659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40882 ÷ 216
    40882 ÷ 65536     		x = 0.623809814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8659 ÷ 216
    8659 ÷ 65536     		y = 0.132125854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623809814453125 × 2 - 1) × π
    0.24761962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77792001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132125854492188 × 2 - 1) × π
    0.735748291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31142142587987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77792001} λ = 0.77792001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31142142587987))-π/2
    2×atan(10.0887548852102)-π/2
    2×1.47199878037862-π/2
    2.94399756075724-1.57079632675     		φ = 1.37320123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77792001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.571533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37320123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.678635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40882 KachelY 8659 0.77792001 1.37320123 44.571533 78.678635
    Oben rechts KachelX + 1 40883 KachelY 8659 0.77801588 1.37320123 44.577026 78.678635
    Unten links KachelX 40882 KachelY + 1 8660 0.77792001 1.37318241 44.571533 78.677557
    Unten rechts KachelX + 1 40883 KachelY + 1 8660 0.77801588 1.37318241 44.577026 78.677557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37320123-1.37318241) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dl = 119.902219999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37320123-1.37318241) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dr = 119.902219999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77792001-0.77801588) × cos(1.37320123) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196311793305073 × 6371000     		do = 119.904842457504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77792001-0.77801588) × cos(1.37318241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196330247061783 × 6371000     		du = 119.916113786413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37320123)-sin(1.37318241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196311793305073-0.196330247061783)×R²
    abs(0.77801588-0.77792001)×1.84537567099186e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84537567099186e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84537567099186e-05×40589641000000     		ar = 14377.5325286746m²