Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40882 / 8658
↖ ↑ ↗
← N 78.679713°
E 44.571533°		 ← 119.89 m → N 78.679713°
E 44.577026°		 →
↑
119.90 m
↓
↑
119.90 m
↓
N 78.678635°
E 44.571533°		 ← 119.90 m →
14 376 m²		 N 78.678635°
E 44.577026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623817443847656 y=0.132118225097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623817443847656 × 216)
    floor (0.623817443847656 × 65536)
    floor (40882.5)     		tx = 40882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132118225097656 × 216)
    floor (0.132118225097656 × 65536)
    floor (8658.5)     		ty = 8658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40882 / 8658 ti = "16/40882/8658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40882/8658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40882 ÷ 216
    40882 ÷ 65536     		x = 0.623809814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8658 ÷ 216
    8658 ÷ 65536     		y = 0.132110595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623809814453125 × 2 - 1) × π
    0.24761962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77792001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132110595703125 × 2 - 1) × π
    0.73577880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31151729967911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77792001} λ = 0.77792001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31151729967911))-π/2
    2×atan(10.089722178839)-π/2
    2×1.47200819051484-π/2
    2.94401638102969-1.57079632675     		φ = 1.37322005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77792001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.571533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37322005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.679713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40882 KachelY 8658 0.77792001 1.37322005 44.571533 78.679713
    Oben rechts KachelX + 1 40883 KachelY 8658 0.77801588 1.37322005 44.577026 78.679713
    Unten links KachelX 40882 KachelY + 1 8659 0.77792001 1.37320123 44.571533 78.678635
    Unten rechts KachelX + 1 40883 KachelY + 1 8659 0.77801588 1.37320123 44.577026 78.678635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37322005-1.37320123) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dl = 119.902219999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37322005-1.37320123) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dr = 119.902219999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77792001-0.77801588) × cos(1.37322005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196293339478831 × 6371000     		do = 119.893571086126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77792001-0.77801588) × cos(1.37320123) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196311793305073 × 6371000     		du = 119.904842457504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37322005)-sin(1.37320123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196293339478831-0.196311793305073)×R²
    abs(0.77801588-0.77792001)×1.84538262420209e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84538262420209e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84538262420209e-05×40589641000000     		ar = 14376.1810685556m²