Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40880 / 9936
↖ ↑ ↗
← N 77.215639°
E 44.560547°		 ← 135.16 m → N 77.215639°
E 44.566040°		 →
↑
135.13 m
↓
↑
135.13 m
↓
N 77.214424°
E 44.560547°		 ← 135.17 m →
18 264 m²		 N 77.214424°
E 44.566040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623786926269531 y=0.151618957519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623786926269531 × 216)
    floor (0.623786926269531 × 65536)
    floor (40880.5)     		tx = 40880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151618957519531 × 216)
    floor (0.151618957519531 × 65536)
    floor (9936.5)     		ty = 9936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40880 / 9936 ti = "16/40880/9936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40880/9936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40880 ÷ 216
    40880 ÷ 65536     		x = 0.623779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9936 ÷ 216
    9936 ÷ 65536     		y = 0.151611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623779296875 × 2 - 1) × π
    0.24755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77772826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151611328125 × 2 - 1) × π
    0.69677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18899058425024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77772826} λ = 0.77772826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18899058425024))-π/2
    2×atan(8.92619832045644)-π/2
    2×1.45923173552069-π/2
    2.91846347104137-1.57079632675     		φ = 1.34766714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77772826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.560547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34766714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.215639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40880 KachelY 9936 0.77772826 1.34766714 44.560547 77.215639
    Oben rechts KachelX + 1 40881 KachelY 9936 0.77782413 1.34766714 44.566040 77.215639
    Unten links KachelX 40880 KachelY + 1 9937 0.77772826 1.34764593 44.560547 77.214424
    Unten rechts KachelX + 1 40881 KachelY + 1 9937 0.77782413 1.34764593 44.566040 77.214424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34766714-1.34764593) × R
    2.12099999998827e-05 × 6371000     		dl = 135.128909999253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34766714-1.34764593) × R
    2.12099999998827e-05 × 6371000     		dr = 135.128909999253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77772826-0.77782413) × cos(1.34766714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221282315078211 × 6371000     		do = 135.156531767055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77772826-0.77782413) × cos(1.34764593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221302999228109 × 6371000     		du = 135.169165392846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34766714)-sin(1.34764593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221282315078211-0.221302999228109)×R²
    abs(0.77782413-0.77772826)×2.06841498981702e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.06841498981702e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.06841498981702e-05×40589641000000     		ar = 18264.4084018531m²