Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4088 / 1993
↖ ↑ ↗
← N 67.458082°
W  0.351562°		 ← 1 873.28 m → N 67.458082°
W  0.307617°		 →
↑
1 873.97 m
↓
↑
1 873.97 m
↓
N 67.441229°
W  0.351562°		 ← 1 874.61 m →
3 511 711 m²		 N 67.441229°
W  0.307617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49908447265625 y=0.24334716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49908447265625 × 213)
    floor (0.49908447265625 × 8192)
    floor (4088.5)     		tx = 4088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24334716796875 × 213)
    floor (0.24334716796875 × 8192)
    floor (1993.5)     		ty = 1993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4088 / 1993 ti = "13/4088/1993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4088/1993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4088 ÷ 213
    4088 ÷ 8192     		x = 0.4990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1993 ÷ 213
    1993 ÷ 8192     		y = 0.2432861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4990234375 × 2 - 1) × π
    -0.001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00613592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2432861328125 × 2 - 1) × π
    0.513427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.61298079841565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00613592} λ = -0.00613592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61298079841565))-π/2
    2×atan(5.017745847102)-π/2
    2×1.37408097808926-π/2
    2.74816195617851-1.57079632675     		φ = 1.17736563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00613592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17736563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.458082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4088 KachelY 1993 -0.00613592 1.17736563 -0.351562 67.458082
    Oben rechts KachelX + 1 4089 KachelY 1993 -0.00536893 1.17736563 -0.307617 67.458082
    Unten links KachelX 4088 KachelY + 1 1994 -0.00613592 1.17707149 -0.351562 67.441229
    Unten rechts KachelX + 1 4089 KachelY + 1 1994 -0.00536893 1.17707149 -0.307617 67.441229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17736563-1.17707149) × R
    0.000294139999999832 × 6371000     		dl = 1873.96593999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17736563-1.17707149) × R
    0.000294139999999832 × 6371000     		dr = 1873.96593999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00613592--0.00536893) × cos(1.17736563) × R
    0.00076699 × 0.383359254100134 × 6371000     		do = 1873.28242281971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00613592--0.00536893) × cos(1.17707149) × R
    0.00076699 × 0.383630905012957 × 6371000     		du = 1874.60984318244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17736563)-sin(1.17707149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383359254100134-0.383630905012957)×R²
    abs(-0.00536893--0.00613592)×0.000271650912823496×R²
    0.00076699×0.000271650912823496×6371000²
    0.00076699×0.000271650912823496×40589641000000     		ar = 3511711.25195577m²