Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40870 / 8669
↖ ↑ ↗
← N 78.667846°
E 44.505615°		 ← 120.03 m → N 78.667846°
E 44.511109°		 →
↑
120.03 m
↓
↑
120.03 m
↓
N 78.666767°
E 44.505615°		 ← 120.04 m →
14 408 m²		 N 78.666767°
E 44.511109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623634338378906 y=0.132286071777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623634338378906 × 216)
    floor (0.623634338378906 × 65536)
    floor (40870.5)     		tx = 40870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132286071777344 × 216)
    floor (0.132286071777344 × 65536)
    floor (8669.5)     		ty = 8669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40870 / 8669 ti = "16/40870/8669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40870/8669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40870 ÷ 216
    40870 ÷ 65536     		x = 0.623626708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8669 ÷ 216
    8669 ÷ 65536     		y = 0.132278442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623626708984375 × 2 - 1) × π
    0.24725341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77676952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132278442382812 × 2 - 1) × π
    0.735443115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31046268788747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77676952} λ = 0.77676952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31046268788747))-π/2
    2×atan(10.0790870478078)-π/2
    2×1.47190463034628-π/2
    2.94380926069256-1.57079632675     		φ = 1.37301293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77676952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.505615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37301293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.667846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40870 KachelY 8669 0.77676952 1.37301293 44.505615 78.667846
    Oben rechts KachelX + 1 40871 KachelY 8669 0.77686540 1.37301293 44.511109 78.667846
    Unten links KachelX 40870 KachelY + 1 8670 0.77676952 1.37299409 44.505615 78.666767
    Unten rechts KachelX + 1 40871 KachelY + 1 8670 0.77686540 1.37299409 44.511109 78.666767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37301293-1.37299409) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dl = 120.029640000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37301293-1.37299409) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dr = 120.029640000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77676952-0.77686540) × cos(1.37301293) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196496425792603 × 6371000     		do = 120.030132510182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77676952-0.77686540) × cos(1.37299409) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196514898463279 × 6371000     		du = 120.041416568404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37301293)-sin(1.37299409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196496425792603-0.196514898463279)×R²
    abs(0.77686540-0.77676952)×1.84726706760341e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.84726706760341e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.84726706760341e-05×40589641000000     		ar = 14407.8508053331m²