Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40868 / 8673
↖ ↑ ↗
← N 78.663528°
E 44.494629°		 ← 120.08 m → N 78.663528°
E 44.500122°		 →
↑
120.03 m
↓
↑
120.03 m
↓
N 78.662448°
E 44.494629°		 ← 120.09 m →
14 413 m²		 N 78.662448°
E 44.500122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623603820800781 y=0.132347106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623603820800781 × 216)
    floor (0.623603820800781 × 65536)
    floor (40868.5)     		tx = 40868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132347106933594 × 216)
    floor (0.132347106933594 × 65536)
    floor (8673.5)     		ty = 8673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40868 / 8673 ti = "16/40868/8673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40868/8673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40868 ÷ 216
    40868 ÷ 65536     		x = 0.62359619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8673 ÷ 216
    8673 ÷ 65536     		y = 0.132339477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62359619140625 × 2 - 1) × π
    0.2471923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77657777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132339477539062 × 2 - 1) × π
    0.735321044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31007919269051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77657777} λ = 0.77657777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31007919269051))-π/2
    2×atan(10.0752225073989)-π/2
    2×1.47186694554464-π/2
    2.94373389108928-1.57079632675     		φ = 1.37293756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77657777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.494629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37293756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.663528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40868 KachelY 8673 0.77657777 1.37293756 44.494629 78.663528
    Oben rechts KachelX + 1 40869 KachelY 8673 0.77667365 1.37293756 44.500122 78.663528
    Unten links KachelX 40868 KachelY + 1 8674 0.77657777 1.37291872 44.494629 78.662448
    Unten rechts KachelX + 1 40869 KachelY + 1 8674 0.77667365 1.37291872 44.500122 78.662448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37293756-1.37291872) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dl = 120.029640000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37293756-1.37291872) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dr = 120.029640000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77657777-0.77667365) × cos(1.37293756) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196570325861665 × 6371000     		do = 120.075274476741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77657777-0.77667365) × cos(1.37291872) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196588798253256 × 6371000     		du = 120.086558364483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37293756)-sin(1.37291872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196570325861665-0.196588798253256)×R²
    abs(0.77667365-0.77657777)×1.84723915912788e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.84723915912788e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.84723915912788e-05×40589641000000     		ar = 14413.2691693605m²