Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40868 / 8671
↖ ↑ ↗
← N 78.665687°
E 44.494629°		 ← 120.05 m → N 78.665687°
E 44.500122°		 →
↑
120.03 m
↓
↑
120.03 m
↓
N 78.664608°
E 44.494629°		 ← 120.06 m →
14 411 m²		 N 78.664608°
E 44.500122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623603820800781 y=0.132316589355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623603820800781 × 216)
    floor (0.623603820800781 × 65536)
    floor (40868.5)     		tx = 40868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132316589355469 × 216)
    floor (0.132316589355469 × 65536)
    floor (8671.5)     		ty = 8671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40868 / 8671 ti = "16/40868/8671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40868/8671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40868 ÷ 216
    40868 ÷ 65536     		x = 0.62359619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8671 ÷ 216
    8671 ÷ 65536     		y = 0.132308959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62359619140625 × 2 - 1) × π
    0.2471923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77657777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132308959960938 × 2 - 1) × π
    0.735382080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31027094028899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77657777} λ = 0.77657777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31027094028899))-π/2
    2×atan(10.0771545923493)-π/2
    2×1.47188578971672-π/2
    2.94377157943344-1.57079632675     		φ = 1.37297525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77657777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.494629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37297525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.665687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40868 KachelY 8671 0.77657777 1.37297525 44.494629 78.665687
    Oben rechts KachelX + 1 40869 KachelY 8671 0.77667365 1.37297525 44.500122 78.665687
    Unten links KachelX 40868 KachelY + 1 8672 0.77657777 1.37295641 44.494629 78.664608
    Unten rechts KachelX + 1 40869 KachelY + 1 8672 0.77667365 1.37295641 44.500122 78.664608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37297525-1.37295641) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dl = 120.029640000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37297525-1.37295641) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dr = 120.029640000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77657777-0.77667365) × cos(1.37297525) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196533371064202 × 6371000     		do = 120.052700584018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77657777-0.77667365) × cos(1.37295641) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196551843595368 × 6371000     		du = 120.063984557019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37297525)-sin(1.37295641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196533371064202-0.196551843595368)×R²
    abs(0.77667365-0.77657777)×1.84725311652978e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.84725311652978e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.84725311652978e-05×40589641000000     		ar = 14410.5596382348m²