Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40864 / 8674
↖ ↑ ↗
← N 78.662448°
E 44.472656°		 ← 120.07 m → N 78.662448°
E 44.478149°		 →
↑
120.09 m
↓
↑
120.09 m
↓
N 78.661368°
E 44.472656°		 ← 120.09 m →
14 421 m²		 N 78.661368°
E 44.478149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623542785644531 y=0.132362365722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623542785644531 × 216)
    floor (0.623542785644531 × 65536)
    floor (40864.5)     		tx = 40864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132362365722656 × 216)
    floor (0.132362365722656 × 65536)
    floor (8674.5)     		ty = 8674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40864 / 8674 ti = "16/40864/8674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40864/8674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40864 ÷ 216
    40864 ÷ 65536     		x = 0.62353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8674 ÷ 216
    8674 ÷ 65536     		y = 0.132354736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62353515625 × 2 - 1) × π
    0.2470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77619428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132354736328125 × 2 - 1) × π
    0.73529052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30998331889127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77619428} λ = 0.77619428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30998331889127))-π/2
    2×atan(10.0742566038421)-π/2
    2×1.47185752212995-π/2
    2.94371504425991-1.57079632675     		φ = 1.37291872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77619428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.472656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37291872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.662448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40864 KachelY 8674 0.77619428 1.37291872 44.472656 78.662448
    Oben rechts KachelX + 1 40865 KachelY 8674 0.77629015 1.37291872 44.478149 78.662448
    Unten links KachelX 40864 KachelY + 1 8675 0.77619428 1.37289987 44.472656 78.661368
    Unten rechts KachelX + 1 40865 KachelY + 1 8675 0.77629015 1.37289987 44.478149 78.661368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37291872-1.37289987) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dl = 120.093350000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37291872-1.37289987) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dr = 120.093350000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77619428-0.77629015) × cos(1.37291872) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196588798253256 × 6371000     		do = 120.074033692084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77619428-0.77629015) × cos(1.37289987) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196607280379892 × 6371000     		du = 120.085322348997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37291872)-sin(1.37289987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196588798253256-0.196607280379892)×R²
    abs(0.77629015-0.77619428)×1.84821266360768e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84821266360768e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84821266360768e-05×40589641000000     		ar = 14420.7708007892m²