Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40861 / 8684
↖ ↑ ↗
← N 78.651644°
E 44.456177°		 ← 120.19 m → N 78.651644°
E 44.461670°		 →
↑
120.16 m
↓
↑
120.16 m
↓
N 78.650563°
E 44.456177°		 ← 120.20 m →
14 442 m²		 N 78.650563°
E 44.461670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623497009277344 y=0.132514953613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623497009277344 × 216)
    floor (0.623497009277344 × 65536)
    floor (40861.5)     		tx = 40861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132514953613281 × 216)
    floor (0.132514953613281 × 65536)
    floor (8684.5)     		ty = 8684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40861 / 8684 ti = "16/40861/8684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40861/8684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40861 ÷ 216
    40861 ÷ 65536     		x = 0.623489379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8684 ÷ 216
    8684 ÷ 65536     		y = 0.13250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623489379882812 × 2 - 1) × π
    0.246978759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77590666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13250732421875 × 2 - 1) × π
    0.7349853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30902458089886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77590666} λ = 0.77590666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30902458089886))-π/2
    2×atan(10.0646026598318)-π/2
    2×1.47176323924705-π/2
    2.9435264784941-1.57079632675     		φ = 1.37273015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77590666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.456177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37273015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.651644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40861 KachelY 8684 0.77590666 1.37273015 44.456177 78.651644
    Oben rechts KachelX + 1 40862 KachelY 8684 0.77600253 1.37273015 44.461670 78.651644
    Unten links KachelX 40861 KachelY + 1 8685 0.77590666 1.37271129 44.456177 78.650563
    Unten rechts KachelX + 1 40862 KachelY + 1 8685 0.77600253 1.37271129 44.461670 78.650563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37273015-1.37271129) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dl = 120.157059999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37273015-1.37271129) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dr = 120.157059999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77590666-0.77600253) × cos(1.37273015) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1967736850066 × 6371000     		do = 120.186960259861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77590666-0.77600253) × cos(1.37271129) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196792176238544 × 6371000     		du = 120.198254478184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37273015)-sin(1.37271129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1967736850066-0.196792176238544)×R²
    abs(0.77600253-0.77590666)×1.8491231943224e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.8491231943224e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.8491231943224e-05×40589641000000     		ar = 14441.9903353295m²