Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40856 / 8621
↖ ↑ ↗
← N 78.719540°
E 44.428711°		 ← 119.48 m → N 78.719540°
E 44.434204°		 →
↑
119.46 m
↓
↑
119.46 m
↓
N 78.718466°
E 44.428711°		 ← 119.49 m →
14 273 m²		 N 78.718466°
E 44.434204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623420715332031 y=0.131553649902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623420715332031 × 216)
    floor (0.623420715332031 × 65536)
    floor (40856.5)     		tx = 40856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131553649902344 × 216)
    floor (0.131553649902344 × 65536)
    floor (8621.5)     		ty = 8621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40856 / 8621 ti = "16/40856/8621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40856/8621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40856 ÷ 216
    40856 ÷ 65536     		x = 0.6234130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8621 ÷ 216
    8621 ÷ 65536     		y = 0.131546020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6234130859375 × 2 - 1) × π
    0.246826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77542729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131546020507812 × 2 - 1) × π
    0.736907958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31506463025099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77542729} λ = 0.77542729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31506463025099))-π/2
    2×atan(10.1255773161995)-π/2
    2×1.4723557443597-π/2
    2.94471148871939-1.57079632675     		φ = 1.37391516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77542729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.428711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37391516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.719540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40856 KachelY 8621 0.77542729 1.37391516 44.428711 78.719540
    Oben rechts KachelX + 1 40857 KachelY 8621 0.77552316 1.37391516 44.434204 78.719540
    Unten links KachelX 40856 KachelY + 1 8622 0.77542729 1.37389641 44.428711 78.718466
    Unten rechts KachelX + 1 40857 KachelY + 1 8622 0.77552316 1.37389641 44.434204 78.718466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37391516-1.37389641) × R
    1.87499999999563e-05 × 6371000     		dl = 119.456249999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37391516-1.37389641) × R
    1.87499999999563e-05 × 6371000     		dr = 119.456249999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77542729-0.77552316) × cos(1.37391516) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195611705324816 × 6371000     		do = 119.477237281239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77542729-0.77552316) × cos(1.37389641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195630093067181 × 6371000     		du = 119.488468289394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37391516)-sin(1.37389641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195611705324816-0.195630093067181)×R²
    abs(0.77552316-0.77542729)×1.83877423652612e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.83877423652612e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.83877423652612e-05×40589641000000     		ar = 14272.9735333873m²