Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40855 / 8622
↖ ↑ ↗
← N 78.718466°
E 44.423218°		 ← 119.50 m → N 78.718466°
E 44.428711°		 →
↑
119.52 m
↓
↑
119.52 m
↓
N 78.717391°
E 44.423218°		 ← 119.51 m →
14 283 m²		 N 78.717391°
E 44.428711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623405456542969 y=0.131568908691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623405456542969 × 216)
    floor (0.623405456542969 × 65536)
    floor (40855.5)     		tx = 40855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131568908691406 × 216)
    floor (0.131568908691406 × 65536)
    floor (8622.5)     		ty = 8622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40855 / 8622 ti = "16/40855/8622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40855/8622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40855 ÷ 216
    40855 ÷ 65536     		x = 0.623397827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8622 ÷ 216
    8622 ÷ 65536     		y = 0.131561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623397827148438 × 2 - 1) × π
    0.246795654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77533141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131561279296875 × 2 - 1) × π
    0.73687744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31496875645175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77533141} λ = 0.77533141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31496875645175))-π/2
    2×atan(10.1246065851673)-π/2
    2×1.47234636690027-π/2
    2.94469273380054-1.57079632675     		φ = 1.37389641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77533141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.423218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37389641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.718466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40855 KachelY 8622 0.77533141 1.37389641 44.423218 78.718466
    Oben rechts KachelX + 1 40856 KachelY 8622 0.77542729 1.37389641 44.428711 78.718466
    Unten links KachelX 40855 KachelY + 1 8623 0.77533141 1.37387765 44.423218 78.717391
    Unten rechts KachelX + 1 40856 KachelY + 1 8623 0.77542729 1.37387765 44.428711 78.717391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37389641-1.37387765) × R
    1.87599999998955e-05 × 6371000     		dl = 119.519959999334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37389641-1.37387765) × R
    1.87599999998955e-05 × 6371000     		dr = 119.519959999334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77533141-0.77542729) × cos(1.37389641) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.195630093067181 × 6371000     		do = 119.500931882547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77533141-0.77542729) × cos(1.37387765) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.195648490547511 × 6371000     		du = 119.512170010635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37389641)-sin(1.37387765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195630093067181-0.195648490547511)×R²
    abs(0.77542729-0.77533141)×1.83974803298903e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.83974803298903e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.83974803298903e-05×40589641000000     		ar = 14283.4181893365m²