Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40854 / 8574
↖ ↑ ↗
← N 78.769932°
E 44.417725°		 ← 118.95 m → N 78.769932°
E 44.423218°		 →
↑
119.01 m
↓
↑
119.01 m
↓
N 78.768861°
E 44.417725°		 ← 118.96 m →
14 157 m²		 N 78.768861°
E 44.423218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623390197753906 y=0.130836486816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623390197753906 × 216)
    floor (0.623390197753906 × 65536)
    floor (40854.5)     		tx = 40854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130836486816406 × 216)
    floor (0.130836486816406 × 65536)
    floor (8574.5)     		ty = 8574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40854 / 8574 ti = "16/40854/8574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40854/8574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40854 ÷ 216
    40854 ÷ 65536     		x = 0.623382568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8574 ÷ 216
    8574 ÷ 65536     		y = 0.130828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623382568359375 × 2 - 1) × π
    0.24676513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77523554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130828857421875 × 2 - 1) × π
    0.73834228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31957069881528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77523554} λ = 0.77523554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31957069881528))-π/2
    2×atan(10.1713068145901)-π/2
    2×1.47279549183509-π/2
    2.94559098367019-1.57079632675     		φ = 1.37479466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77523554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.417725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37479466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.769932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40854 KachelY 8574 0.77523554 1.37479466 44.417725 78.769932
    Oben rechts KachelX + 1 40855 KachelY 8574 0.77533141 1.37479466 44.423218 78.769932
    Unten links KachelX 40854 KachelY + 1 8575 0.77523554 1.37477598 44.417725 78.768861
    Unten rechts KachelX + 1 40855 KachelY + 1 8575 0.77533141 1.37477598 44.423218 78.768861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37479466-1.37477598) × R
    1.86800000001597e-05 × 6371000     		dl = 119.010280001017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37479466-1.37477598) × R
    1.86800000001597e-05 × 6371000     		dr = 119.010280001017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77523554-0.77533141) × cos(1.37479466) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.194749120466396 × 6371000     		do = 118.950380999266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77523554-0.77533141) × cos(1.37477598) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.194767442768099 × 6371000     		du = 118.961572037065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37479466)-sin(1.37477598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194749120466396-0.194767442768099)×R²
    abs(0.77533141-0.77523554)×1.83223017032885e-05×R²
    9.58700000001089e-05×1.83223017032885e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×1.83223017032885e-05×40589641000000     		ar = 14156.9840735234m²