Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40853 / 8667
↖ ↑ ↗
← N 78.670005°
E 44.412232°		 ← 120 m → N 78.670005°
E 44.417725°		 →
↑
120.03 m
↓
↑
120.03 m
↓
N 78.668926°
E 44.412232°		 ← 120.01 m →
14 404 m²		 N 78.668926°
E 44.417725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623374938964844 y=0.132255554199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623374938964844 × 216)
    floor (0.623374938964844 × 65536)
    floor (40853.5)     		tx = 40853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132255554199219 × 216)
    floor (0.132255554199219 × 65536)
    floor (8667.5)     		ty = 8667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40853 / 8667 ti = "16/40853/8667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40853/8667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40853 ÷ 216
    40853 ÷ 65536     		x = 0.623367309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8667 ÷ 216
    8667 ÷ 65536     		y = 0.132247924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623367309570312 × 2 - 1) × π
    0.246734619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77513967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132247924804688 × 2 - 1) × π
    0.735504150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31065443548595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77513967} λ = 0.77513967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31065443548595))-π/2
    2×atan(10.0810198738456)-π/2
    2×1.47192346743396-π/2
    2.94384693486791-1.57079632675     		φ = 1.37305061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77513967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.412232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37305061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.670005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40853 KachelY 8667 0.77513967 1.37305061 44.412232 78.670005
    Oben rechts KachelX + 1 40854 KachelY 8667 0.77523554 1.37305061 44.417725 78.670005
    Unten links KachelX 40853 KachelY + 1 8668 0.77513967 1.37303177 44.412232 78.668926
    Unten rechts KachelX + 1 40854 KachelY + 1 8668 0.77523554 1.37303177 44.417725 78.668926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37305061-1.37303177) × R
    1.88399999998534e-05 × 6371000     		dl = 120.029639999066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37305061-1.37303177) × R
    1.88399999998534e-05 × 6371000     		dr = 120.029639999066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77513967-0.77523554) × cos(1.37305061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196459480242021 × 6371000     		do = 119.99504783238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77513967-0.77523554) × cos(1.37303177) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196477953052181 × 6371000     		du = 120.006330798904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37305061)-sin(1.37303177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196459480242021-0.196477953052181)×R²
    abs(0.77523554-0.77513967)×1.84728101603471e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84728101603471e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84728101603471e-05×40589641000000     		ar = 14403.6395389115m²