Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40852 / 10186
↖ ↑ ↗
← N 76.908176°
E 44.406738°		 ← 138.37 m → N 76.908176°
E 44.412232°		 →
↑
138.31 m
↓
↑
138.31 m
↓
N 76.906933°
E 44.406738°		 ← 138.38 m →
19 139 m²		 N 76.906933°
E 44.412232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623359680175781 y=0.155433654785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623359680175781 × 216)
    floor (0.623359680175781 × 65536)
    floor (40852.5)     		tx = 40852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155433654785156 × 216)
    floor (0.155433654785156 × 65536)
    floor (10186.5)     		ty = 10186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40852 / 10186 ti = "16/40852/10186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40852/10186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40852 ÷ 216
    40852 ÷ 65536     		x = 0.62335205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10186 ÷ 216
    10186 ÷ 65536     		y = 0.155426025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62335205078125 × 2 - 1) × π
    0.2467041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77504379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155426025390625 × 2 - 1) × π
    0.68914794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16502213444022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77504379} λ = 0.77504379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16502213444022))-π/2
    2×atan(8.71479481182118)-π/2
    2×1.45654861536951-π/2
    2.91309723073901-1.57079632675     		φ = 1.34230090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77504379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.406738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34230090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.908176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40852 KachelY 10186 0.77504379 1.34230090 44.406738 76.908176
    Oben rechts KachelX + 1 40853 KachelY 10186 0.77513967 1.34230090 44.412232 76.908176
    Unten links KachelX 40852 KachelY + 1 10187 0.77504379 1.34227919 44.406738 76.906933
    Unten rechts KachelX + 1 40853 KachelY + 1 10187 0.77513967 1.34227919 44.412232 76.906933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34230090-1.34227919) × R
    2.17099999999526e-05 × 6371000     		dl = 138.314409999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34230090-1.34227919) × R
    2.17099999999526e-05 × 6371000     		dr = 138.314409999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77504379-0.77513967) × cos(1.34230090) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.226512313678334 × 6371000     		do = 138.365382048544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77504379-0.77513967) × cos(1.34227919) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.226533459345182 × 6371000     		du = 138.378298910434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34230090)-sin(1.34227919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226512313678334-0.226533459345182)×R²
    abs(0.77513967-0.77504379)×2.11456668475218e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.11456668475218e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.11456668475218e-05×40589641000000     		ar = 19138.819476999m²