Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40849 / 8679
↖ ↑ ↗
← N 78.657048°
E 44.390259°		 ← 120.14 m → N 78.657048°
E 44.395752°		 →
↑
120.16 m
↓
↑
120.16 m
↓
N 78.655967°
E 44.390259°		 ← 120.15 m →
14 437 m²		 N 78.655967°
E 44.395752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623313903808594 y=0.132438659667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623313903808594 × 216)
    floor (0.623313903808594 × 65536)
    floor (40849.5)     		tx = 40849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132438659667969 × 216)
    floor (0.132438659667969 × 65536)
    floor (8679.5)     		ty = 8679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40849 / 8679 ti = "16/40849/8679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40849/8679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40849 ÷ 216
    40849 ÷ 65536     		x = 0.623306274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8679 ÷ 216
    8679 ÷ 65536     		y = 0.132431030273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623306274414062 × 2 - 1) × π
    0.246612548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77475617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132431030273438 × 2 - 1) × π
    0.735137939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30950394989507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77475617} λ = 0.77475617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30950394989507))-π/2
    2×atan(10.0694284748866)-π/2
    2×1.47181039176688-π/2
    2.94362078353375-1.57079632675     		φ = 1.37282446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77475617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.390259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37282446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.657048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40849 KachelY 8679 0.77475617 1.37282446 44.390259 78.657048
    Oben rechts KachelX + 1 40850 KachelY 8679 0.77485205 1.37282446 44.395752 78.657048
    Unten links KachelX 40849 KachelY + 1 8680 0.77475617 1.37280560 44.390259 78.655967
    Unten rechts KachelX + 1 40850 KachelY + 1 8680 0.77485205 1.37280560 44.395752 78.655967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37282446-1.37280560) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dl = 120.157059999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37282446-1.37280560) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dr = 120.157059999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77475617-0.77485205) × cos(1.37282446) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196681217992456 × 6371000     		do = 120.143013098955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77475617-0.77485205) × cos(1.37280560) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196699709574332 × 6371000     		du = 120.154308709111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37282446)-sin(1.37280560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196681217992456-0.196699709574332)×R²
    abs(0.77485205-0.77475617)×1.849158187614e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.849158187614e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.849158187614e-05×40589641000000     		ar = 14436.7098574024m²