Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40846 / 10165
↖ ↑ ↗
← N 76.934281°
E 44.373779°		 ← 138.08 m → N 76.934281°
E 44.379272°		 →
↑
138.12 m
↓
↑
138.12 m
↓
N 76.933039°
E 44.373779°		 ← 138.09 m →
19 073 m²		 N 76.933039°
E 44.379272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623268127441406 y=0.155113220214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623268127441406 × 216)
    floor (0.623268127441406 × 65536)
    floor (40846.5)     		tx = 40846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155113220214844 × 216)
    floor (0.155113220214844 × 65536)
    floor (10165.5)     		ty = 10165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40846 / 10165 ti = "16/40846/10165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40846/10165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40846 ÷ 216
    40846 ÷ 65536     		x = 0.623260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10165 ÷ 216
    10165 ÷ 65536     		y = 0.155105590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623260498046875 × 2 - 1) × π
    0.24652099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77446855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155105590820312 × 2 - 1) × π
    0.689788818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16703548422426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77446855} λ = 0.77446855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16703548422426))-π/2
    2×atan(8.73235841698091)-π/2
    2×1.45677641618275-π/2
    2.9135528323655-1.57079632675     		φ = 1.34275651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77446855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.373779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34275651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.934281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40846 KachelY 10165 0.77446855 1.34275651 44.373779 76.934281
    Oben rechts KachelX + 1 40847 KachelY 10165 0.77456442 1.34275651 44.379272 76.934281
    Unten links KachelX 40846 KachelY + 1 10166 0.77446855 1.34273483 44.373779 76.933039
    Unten rechts KachelX + 1 40847 KachelY + 1 10166 0.77456442 1.34273483 44.379272 76.933039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34275651-1.34273483) × R
    2.16800000001349e-05 × 6371000     		dl = 138.12328000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34275651-1.34273483) × R
    2.16800000001349e-05 × 6371000     		dr = 138.12328000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77446855-0.77456442) × cos(1.34275651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22606852226159 × 6371000     		do = 138.079888579349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77446855-0.77456442) × cos(1.34273483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226089640943653 × 6371000     		du = 138.092787612071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34275651)-sin(1.34273483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22606852226159-0.226089640943653)×R²
    abs(0.77456442-0.77446855)×2.11186820622822e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.11186820622822e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.11186820622822e-05×40589641000000     		ar = 19072.9379419116m²