Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40845 / 10169
↖ ↑ ↗
← N 76.929312°
E 44.368286°		 ← 138.13 m → N 76.929312°
E 44.373779°		 →
↑
138.12 m
↓
↑
138.12 m
↓
N 76.928070°
E 44.368286°		 ← 138.14 m →
19 080 m²		 N 76.928070°
E 44.373779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623252868652344 y=0.155174255371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623252868652344 × 216)
    floor (0.623252868652344 × 65536)
    floor (40845.5)     		tx = 40845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155174255371094 × 216)
    floor (0.155174255371094 × 65536)
    floor (10169.5)     		ty = 10169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40845 / 10169 ti = "16/40845/10169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40845/10169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40845 ÷ 216
    40845 ÷ 65536     		x = 0.623245239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10169 ÷ 216
    10169 ÷ 65536     		y = 0.155166625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623245239257812 × 2 - 1) × π
    0.246490478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77437268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155166625976562 × 2 - 1) × π
    0.689666748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.1666519890273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77437268} λ = 0.77437268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1666519890273))-π/2
    2×atan(8.7290102415155)-π/2
    2×1.45673305998802-π/2
    2.91346611997604-1.57079632675     		φ = 1.34266979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77437268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.368286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34266979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.929312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40845 KachelY 10169 0.77437268 1.34266979 44.368286 76.929312
    Oben rechts KachelX + 1 40846 KachelY 10169 0.77446855 1.34266979 44.373779 76.929312
    Unten links KachelX 40845 KachelY + 1 10170 0.77437268 1.34264811 44.368286 76.928070
    Unten rechts KachelX + 1 40846 KachelY + 1 10170 0.77446855 1.34264811 44.373779 76.928070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34266979-1.34264811) × R
    2.16799999999129e-05 × 6371000     		dl = 138.123279999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34266979-1.34264811) × R
    2.16799999999129e-05 × 6371000     		dr = 138.123279999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77437268-0.77446855) × cos(1.34266979) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226152996352196 × 6371000     		do = 138.131484320773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77437268-0.77446855) × cos(1.34264811) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22617411460913 × 6371000     		du = 138.144383093832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34266979)-sin(1.34264811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226152996352196-0.22617411460913)×R²
    abs(0.77446855-0.77437268)×2.11182569337109e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.11182569337109e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.11182569337109e-05×40589641000000     		ar = 19080.064496693m²